OliForum Matematico

In fondo c'è già nel titolo: svolgendo un esercizio di analisi è emerso il problema seguente:
abbiamo una splendida funzione R->R continua ed iniettiva:possiamo provare che dev'essere monotona ? (chiaramente la monotonia sarà stretta..)
Il bello è che pare la cosa più ovvia del mondo....vediamo un po' se qualcuno mi illumina !
Grazie

Beh... se non è monotona, senza perdere in generalità possiamo supporre che esistano x<y<z tali che f(x)<f(z)<f(y). Per la continuità ed il teorema dei valori intermedi, f assume tutti i valori strettamente compresi tra f(x) e f(y) nell'intervallo (x,y), ed in particolare il valore f(z), il che contraddice l'iniettività. Tutti gli altri casi, che si ottengono ordinando diversamente f(x), f(y), f(z) sono sostanzialmente identici.

che vuol dire 'senza perdere in generalità'?

Vuol dire "facciamo finta che è crescente, tanto se invece è decrescente basta cambiare tutti i segni delle disuguaglianze (f decresc---> -f crescente)".