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Dire per quali primi ha uno zero in Zp il polinomio x^3 - 3x + 1.

Scusami, ma... In che modo pensi di caratterizzare quei primi naturali $ p $ per cui il polinomio $ x^3 - 3x + 1 $ possiede almeno una radice in $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $?!? Pare infatti assai improbabile vi sia una qualche proprietà non tautologica che li accomuni. Pertanto, se hai in mente qualcosa di preciso da dimostrare, sarebbe molto meglio se ci dicessi esattamente di che si tratta!

P.S.: per quelli che tengono il Mathematica di Wolfram:

E' un problema decisamente difficile. Se non abbiamo sbagliato qualcosa, i primi per cui quel polinomio ha radici sono 3 e tutti i primi congrui a più o meno 1 modulo 9.

Quello che si vede subito è che il discriminante del polinomio è un quadrato (81), e quindi il gruppo di Galois su Q è $ \mathbb{Z}/_{3\mathbb{Z}} $.
Quindi modulo 3 il polinomio avrà radici multiple (diventa un cubo) e modulo ogni altro primo o si scompone come prodotto di tre fattori lineari distini, o rimane irriducibile.
Per arrivare alla caratterizzazione la strada è piuttosto lunga; come linea generale si osserva che una soluzione del polinomio è data da $ \omega+\omega^{-1} $ dove $ \omega $ è una radice nona primitiva di 1, e si dimostra che $ \mathbb{F}_p(\omega)=\mathbb{F}_p(\sqrt{-3}, \alpha) $ dove $ \alpha $ è una radice del nostro polinomio.
Partendo da questo si usa un altro po' di teoria dei numeri per capire quando -3 è un quadrato modulo p e quando $ \mathbb{F}_p $ contiene le radici none primitive di 1 e si arriva alla risposta.


CaO

Uh... Mi chiedo a questo punto cosa si aspetti a spostare il problema nella sezione MNE...

P.S.: giusto per capire... o provarci, quantomeno! Con eccezione del 3, tutti e soli i primi blahblahblah son della forma $ 18k \pm 1 $?! Tnx...

Sì.
Il 3 è un'eccezione perché è l'unico primo a dividere il discriminante, ed in effetti il tipo di fattorizzazione modulo 3 è diverso da quello modulo ogni altro primo.
Tra i primi rimanenti, quelli congrui a più o meno 1 modulo 9 sono tutti e soli quelli per cui il polinomio si spezza.

Un paio di domande per ubermensch: Frequenti le superiori o l'università? Qual è la fonte del problema?

ehm... la fonte del problema è... un errore... il polinomio era x^2 -3x + 1.. che è molto più semplice e si fa velocemente usando la formula risolutiva per polinomi di secondo grado e la reciprocità quadratica. Ho comunque notato con piacere che siete arrivati comunque ad una soluzione..

Saluti,
Valerio

P.s. faccio l'università