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Questo è il problema originale:

Siano a,b,c i lati del triangolo ABC. Dimostrare che la circonferenza inscritta divide la mediana uscente da B in tre parti uguali se e solo se
a/5 = b/10 = c/13.

Siccome però ho già svolto parte del problema mi serve dimostrare 'solo' che BH = CH, dove H è il punto di tangenza della circonferenza nel segmento a.

1°)
Poniamo :
BC=a=5,CA=b=10,AB=c=13 [scegliendo valori proporzionali e' lo stesso]
Abbiamo:
$ \displaystyle BM=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}=6\sqrt2 $ [mediana relativa ad AC]
2p=28,$ \dispalystyle S=6\sqrt{14} $ [area(ABC) con Erone],$ r(inscritto)=OK=\frac{S}{p}=\frac{3\sqrt{14}}{7} $
BK=p-b=14-10=4,BC=CM=5
L'ultima eguaglianza ci informa che il triangolo BCM e' isoscele su BM e pertanto
CO ,che e' bisettrice, e' anche altezza e mediana .Ne segue:
$ \displaystyle BH=BM/2=3\sqrt2,OB^2=OK^2+BK^2=\frac{18}{7}+16 $
$ \displaystyle OH^2=OB^2-BH^2=\frac{4}{7},HN=\sqrt{ON^2-OH^2}=\sqrt{\frac{18}{7}-\frac{4}{7}}=\sqrt2 $
Pertanto:
$ \displaystyle LN=2HN=2\sqrt2 $
$ \displaystyle BL=BH-LH=3\sqrt2-\sqrt2=2\sqrt2 $
$ \displaystyle NM=BM-(BL+LN)=6\sqrt2-4\sqrt2=2\sqrt2 $
C.D.D.
2°)
Sia: BL=LN=NM=x
Abbiamo:
$ \diplaystyle BK^2=BL*BN=2x^2=MN*ML=MT^2->BK=MT $
Cioe':$ \displaystyle BK=CM-CT, p-b=\frac{b}{2}-(p-c)->a=\frac{b}{2} $
Ancora:
$ \displaystyle x=\frac{BK}{\sqrt2}=\frac{p-b}{\sqrt2} $
$ \dispalystyle BM=3x=\frac{3(p-b)}{\sqrt2}=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2} $
Poiche' e' b=2a,sostituendo risulta:
$ \displaystyle 3(c-a)=\sqrt{4c^2-4a^2} $
da cui,scartando la soluzione c=a che porta ad un triangolo degenere,si ha:
$ \displaystyle c=\frac{13a}{5} $
In definitiva abbiamo:
$ \displaystyle \frac{a}{5}=\frac{2a}{10}=\frac{b}{10}=\frac{c}{13} $
C.D.D.
Leandro