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Un quadrato ha più divisori congrui a uno modulo 4 o congrui a 3? Giustificare la riposta

consideriamo $ a^2\equiv1\pmod{3} $ e $ a^2\equiv1\pmod{4} $
ma $ a^2=(a-1)(a+1) $. Quindi la risposta è che è più probabile che un quadrato abbia più divisori congrui a modulo 3.

EUCLA ha scritto:consideriamo $ a^2\equiv1\pmod{3} $ e $ a^2\equiv1\pmod{4} $
ma $ a^2=(a-1)(a+1) $. Quindi la risposta è che è più probabile che un quadrato abbia più divisori congrui a modulo 3.

Scusa,ma non ho capito due cose:
-il testo parla di residui modulo 4...cosa c'entrano quelli modulo 3?
-$ a^2 = (a+1)(a-1) $ ???

... tra le altre cose, ammesso che sia un typo, a me risulta il contrario...

Il Testo dice:
Un quadrato ha più divisori congrui a uno modulo 4 o congrui a 3? Giustificare la riposta.

Si intende più divisori congrui a 1 in modulo 4 e divisori congrui a 1 in modulo 3 oppure divisori congrui a 1 modulo 4 e divisori congrui (cioè congrui a 0) modulo 3???

Grazie

Ciao

scusate avevo proprio letto male

Si chiede se sono più i divisori conguri a 1 modulo 4 o quelli congrui a 3 modulo 4

Ma che domanda è?! Ci sono quadrati che hanno soli divisori $\equiv 1 \bmod 4$; né più né meno, non lo so, che ne hanno esclusivamente di $\equiv 3 \bmod 4$; certuni che ne hanno tanti di un tipo quanti dell'altro; taluni, infine, che non ne hanno né dell'uno né dell'altro.

Euler, citami un esempio di quadrato con soli divisori congrui a tre modulo 4, considerando anche che $ 1|n $ $ \forall n\in \mathbb{N} $...

HiTLeuLeR ha scritto:Ma che domanda è?! Ci sono quadrati che hanno soli divisori $\equiv 1 \bmod 4$; né più né meno, non lo so, che ne hanno esclusivamente di $\equiv 3 \bmod 4$; certuni che ne hanno tanti di un tipo quanti dell'altro; taluni, infine, che non ne hanno né dell'uno né dell'altro.

Il delirio abita qui....
Sarei curioso pure io di vederne uno con più divisori congrui a tre modulo quattro
Leggi bene: divisori non divisori primi....

moebius ha scritto: Leggi bene: divisori non divisori primi....

In realtà la questione non ha senso in ogni caso perchè:

$ A=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv1\ (mod\ 4))\right\} $
$ B=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv1\ (mod\ 4)\ \wedge\ n\in\mathfrak{P})\right\} $
$ C=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv3\ (mod\ 4))\right\} $
$ D=\left\{n\in\mathbb{N}:\ \exists a\in\mathbb{N}\ (n|a^{2}\ \wedge\ n\equiv3\ (mod\ 4)\ \wedge\ n\in\mathfrak{P})\right\} $

Sono tutti equipotenti e hanno cardinalità $ \aleph_{0} $. Questo ammesso che tu volessi un confronto tra le cardinalità di qualcuno degli insiemi precedenti.

Eppure la domanda, a me, è sembrata chiara...
Prendi un quadrato a caso: questo ha più divisori congrui a 3 modulo 4 o a 1 modulo 4?
Volendo dargli una parvenza di rigore: sia x un quadrato perfetto: x ha più divisori congrui a 3 modulo 4 o a 1 modulo 4?
E' chiaro adesso?

moebius ha scritto:sia x un quadrato perfetto: x ha più divisori congrui a 3 modulo 4 che a 1 modulo 4.

Semmai il contrario...

Mi ero scordato un "?"... Hai letto mentre correggevo
Stavo solo riformulando la domanda, pure io la penso come te

Ragazzi, che confusione state mettendo in piedi?
Allora, che euler abbia detto sciocchezze s'è già appurato ... psion, attento, la domanda non è il confronto tra le cardinalità di quegli insiemi.
Se volete scrivere tutto con i per ogni e gli esiste, potete provare così :
dato $ k\in\mathbb{N} $ si definiscono
$ A(k^2)=\{n\in\mathbb{N}\mid\ n|k^2\textrm{ e } n\equiv1\mod 4\} $
$ B(k^2)=\{n\in\mathbb{N}\mid\ n|k^2\textrm{ e } n\equiv3\mod 4\} $
La domanda è : chi ha più elementi tra A e B? Ovviamente, nulla dice, sinora, che la risposta sia indipendente da k ... nulla, a parte il come è formulata la domanda, nega che ci siano k per cui |A|>|B| e k per cui avviene il contrario.

Gli insiemi che hai definito tu, psion, sono quelli degli n che dividono un qualche quadrato e sono congrui a 1 o 3 mod 4 ...