OliForum Matematico

Terzo quesito in una sola nottata,merito il premio Stakanov.

State visitando l'Iperacropoli Matematica,monumento celebre per avere estensione infinita.Potete considerarlo come una foresta di colonne di altezza uguale,diciamo alte più o meno quanto voi(volevano farle di sette metri ma poi sono finiti i fondi,già dovevano farne infinite...).Esse formano una griglia perfettamente regolare e sono distanziate di due metri l'una dall'altra.Voi siete sul capitello dell'unica colonna crollata di tutta l'acropoli,quindi occupate il posto di una colonna.Un dubbio vi assale:quante colonne riesco a vedere spaziando con lo sguardo e stando fermo nel punto in cui mi trovo?In teoria non dovreste vederle tutte,ma dovreste vederne comunque infinite.Sapete dimostrare questa affermazione?Qual'é la probabilità che riusciate a vedere una colonna in funzione della sua distanza D da voi?Se riuscite a vedere solo le colonne ad una distanza minore od uguale a R,quante colonne vedrete in funzione di R?Scegliendo un valore di R a caso,quale dovrebbe essere il numero medio di colonne sulla circonferenza con centro voi e raggio R?
Ora usciamo un attimo dal Regno Matematico e torniamo sulla terra,perché nella realtà non vedreste infinite colonne.Difatti,se l'angolo A formato da una colonna-voi-un'altra colonna é troppo piccolo vedrete una colonna sola,quella più vicina a voi.Quante colonne vedrete in funzione dell'angolo A o del numero N di diottrie mancanti?Quale sarà la distanza M della più lontana tra quelle visibili?Quale sarà la distanza S di quella più vicina tra quelle del perimetro del visibile?
E infine,cosa succede se alcune colonne sono state abbattute secondo uno schema regolare?
Scrivete,pensate,ideate,trovate estensioni,insomma ogni intervento é gradito.
Ciao!

La premiata (non si sa bene da chi) ditta "Oblomov & Oblomov.Deliri,farneticazioni,boiate madornali eccetera" é lieta di annunciare con questo messaggio i 100 messaggi postati sul forum!
Chiunque posterà su questo topic sarà accolto con corone di fiori e d'alloro(userò quelle avanzate dai festeggiamenti privati per i 100 messaggi).Cosa aspettate a buttarvi a capofitto nel problema?
Salud!

Oblomov ... ma hai una soluzione ai quesiti che hai posto?
Te lo chiedo perché, sebbene il primo sia classico e standard (posso vedere infinite colonne?), già il secondo (qual è la probabilità di vedere una colonna che ha distanza D) non mi sembra più tanto banale ...

Evariste,io i problemi me li pongo da solo(sono grave,lo so),e se ho la soluzione vuol dire che sono capace di trovarla da solo e quindi che si tratta di problemi per gli oliutenti davvero molto banali.I miei problemi sono difficili,se ve li pongo é perché so che siete molto bravi.
E se poi non ce la fate...beh,io non muoio di crepacuore e credo neanche voi,quindi...
Saluterrimi,
Vanni

Deduco che la risposta è no.
Quindi sposto il thread in matematica non elementare dove andrebbero tutti i problemi di cui non si sa se esiste una soluzione elementare (o olimpica, il che non è sempre lo stesso...).
Ti prego di prestare attenzione, in futuro : le 4 sezioni di Algebra, Combinatoria, Geometria e Teoria dei Numeri sono dedicate a problemi "olimpici", che si possono risolvere con tecniche elementari (e di questo si può essere certi in virtù dell'aver già risolto il problema o del conoscerne la provenienza da qualche gara) e che servono agli altri (e anche ai propositori, perchè no) per prepararsi alle gare.

Ora ti spiego perchè ho spostato il thread.

In quanto alla prima domanda ... e va be' ... metti le colonne nei punti a coord intere di un piano cartesiano, allora la colonna (1,n) è visibile dall'origine (non ci sono altre colonne allineate tra lei e l'origine) per ogni n.

Più in generale una colonna (m,n) è visibile dall'origine se e solo se MCD(m,n)=1.

Osservazioni :
1) il numero $ c_D $ di colonne visibili a distanza D (naturale) è la cardinalità del seguente insieme
$ \{ (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \mid\ a^2+b^2=D,\ MCD(a,b)=1\} $
Ecco il perchè : una colonna a distanza D visibile avrà coordinate (m,n) tali che $ m^2+n^2=D^2 $ e allora (m,n,D) sarà una terna pitagorica primitiva. Ma allora $ D=a^2+b^2 $ per qualche a,b interi e coprimi. Il viceversa è ovvio.
2) sia $ k(D) $ il numero di colonne a distanza minore o uguale di D, allora
$ \pi D^2-2\sqrt{2}\pi D\leq k(D)\leq \pi D^2+2\sqrt{2}\pi D $
come ha detto il buon Gauss. Il succo della dimostrazione è chiudere ogni punto in un quadrato di lato 1 fare la differenza tra l'area di un ricoprimento di quadrati che deborda e l'area di un ricoprimento che sta tutto dentro il cerchio.
3) si ha che, se poniamo $ C_n=\sum_{k=0}^nc_k $, allora si ha
$ C_n\sim \frac{3n}{2\pi} $ per n che tende a infinito. Di questo so la dimostrazione, ma è veramente qualcosa di ben poco elementare (non ci crederete mai, ma è una dimostrazione geometrica ...). Forse esiste qualche dim di teoria analitica dei numeri che rimane un po' più comprensibile, almeno intuitivamente, di quella che conosco io, ma non ne sono a conoscenza.

Quindi se D è abbastanza grande, le colonne visibili a distanza minore o uguale di D sono circa $ \frac{3D}{2\pi} $ (un programmino in C conferma che l'approssimazione è buona già su D=100, ha un momento di dubbio tra 10.000 e 1000000, ma si riprende poi).

Dunque la probabilità che una colonna a distanza minore o uguale di D sia visibile è $ \displaystyle{\frac{3D}{2\pi}\frac{1}{\pi D^2}=\frac{3}{2\pi^2D}} $.
Attenzione, questa è la probabilità che scegliendo a caso una fra le colonne a distanza minore o uguale di D, lei sia visibile, quindi è sensato che vada a 0 con il crescere di D. I numeri cambiano, ma è un po' come chiedere di scegliere a caso un numero minore di D e vedere se è primo.

Per conoscere invece il numero di colonne a distanza D, visibili o meno, possiamo ritornare a quel discorso sulle terne pitagoriche e cercare tutti i modi in cui D si scrive come somma di due quadrati.
Allora, fattorizziamo D così:
$ D=2^kp_1^{2a_1}\ldots p_n^{2a_n}q_1^{b_1}\ldots q_m^{b_m} $
dove i p_i sono primi della forma 4k+3, e i q_i della forma 4k+1.
Se un qualche a_i non è intero, D non si può scrivere come somma di quadrati. Altrimenti, D può essere scritto come somma di quadrati $ Q(D)=4(b_1+1)\ldots(b_m+1) $ modi, contando diverse le coppie in cui cambia l'ordine o il segno di almeno uno degli elementi.

Per fare la media di Q(D) per D=1...N non abbiamo bisogno di questo dato però :
$ \sum_{D=1}^NQ(D) $ è il numero di punti nel cerchio di raggio $ \sqrt{N} $ e dunque è dato da $ \pi N $ come detto sopra; quindi in media Q(D) è circa $ \pi $, quando D è abbastanza grande, come al solito. $ 4+\pi $ è dunque il numero di colonne in media a distanza fissata. Ovviamente questa è una media che ha un errore quadratico spaventosamente alto : il numero 13^k ha 4(k+1) rappresentazioni come somma di quadrati.

Per quanto riguarda la parte sulle colonne "spesse", lascio stare ... è tardi ed inoltre non vedo nessun approccio carino, almeno per ora.

EvaristeG ha scritto:Per quanto riguarda la parte sulle colonne "spesse", lascio stare ... è tardi ed inoltre non vedo nessun approccio carino, almeno per ora.

Questo l'ho risolto in modo elementare, magari lo si può postare in combinatoria.
Ho dimostrato che se le colonne sono distanziate di $ 1 $ ed hanno raggio $ r $ con $ 0<r<\frac 1 2 $, allora è visibile solo un numero finito di colonne, la cui massima distanza dall'osservatore è al più $ \displaystyle \sqrt{2{\left\lceil \frac 1 r \right\rceil }^2-6\left\lceil \frac 1 r \right\rceil+5} $.
Inoltre, usando il teorema del corpo convesso di Minkowski, si può ridurre la stima precedente a $ \displaystyle\sqrt{r^2+\frac 1 {r^2}} $.

Ecco, l'ho postato in Combinatoria. Divertitevi, non è difficile!

Tnx Mind! Ovviamente non mi veniva perchè era di combinatoria...

Più o meno con lo stesso criterio si dimostra che ponendo delle ipersfere di raggio r nei punti a coordinate intere dello spazio n-dimensionale, allora sono visibili solo un numero finito di ipersfere, la distanza dei cui centri è minore di $ \displaystyle \sqrt{n}\left( {\left\lceil \frac {\sqrt{n-1}} r \right\rceil}^{n-1}-2^{n-1}+1 \right) $.
Anche in questo caso si può usare il teorema del corpo convesso di Minkowski per ottimizzare la stima, ma si perde l'elementarità.

Come è questo teorema del corpo convesso di Minkowski?

Esistono dimostrazioni elementari (e brevi) del Th. di Minkowski... Quindi direi che si può usare...

moebius ha scritto:Esistono dimostrazioni elementari (e brevi) del Th. di Minkowski... Quindi direi che si può usare...

Se ne sai una, la posteresti nel glossario?
In ogni caso ho detto che si perde l'elementarità perché per applicare quel teorema al nostro problema come intendo io, occorre sapere la misura dell'ipersfera di R^n (non sapendo la dimostrazione del teorema di Minkowski, non posso certo pronunciarmi sulla sua elementarità!!). Invece, col metodo che ho pensato originariamente, basta un pigonhole.

Ho messo una dim nel glossario... spero sia chiara. Comunque, apparte definire cosa si intende per "volume" di una ipersfera, pure la dimostrazione che ho messo di minkowski usa i cassetti (in questo caso quadrati)