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Trovare tutte le coppie ordinate $ (n;k) $ tali che

$ n,k\in\mathbb{Z^+} \qquad (n+1)^k-1=n! $

Buon lavoro!

luca88 ha scritto:Trovare tutte le coppie ordinate $ (n;k) $ tali che

$ n,k\in\mathbb{Z^+} \qquad (n+1)^k-1=n! $

Buon lavoro!

Sia $ p $ un fattore primo di $ n+1 $ se $ p \neq n+1 $ allora $ p $ divide il secondo membro ma non il primo, quindi $ n+1 $ è un numero primo, vedo se riesco a proseguire...

Santana l'ha detto, ed io lo ripeto: $ n+1 $ ha da essere primo! Se poi $ n = 1 $, necessariamente $ k = 1 $. Viceversa, se $ k = 1 $, necessariamente $ n = 1 $ oppure $ n = 2 $. Si può pertanto ammettere nel seguito $ n \ge 4 $ e $ k > 1 $. Allora $ 2 \mid n $ e $ v_2(n!) \ge 1 + v_2(n) > v_2((n+1)^k-1) $, se $ k $ è dispari. Dunque a forza $ 2 \mid k $ e $ v_2((n+1)^k - 1) = v_2(n) + v_2(k) \cdot v_2(n+2) $. Ma adesso... booooooh!