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momento angolare
Inviato: 07 feb 2006, 22:34
da tuvok
Un disco uniforme di massa M e raggio R ruota con velocità angolare [omega] costante attorno a un asse perpendicolare ad esso e passante per il suo centro O. Sia Lo=1/2MR²[omega] il momento angolare di tale disco rispetto a O; si chiede di calcolare il momento angolare del disco rispetto a un punto a distanza R da O ed eventualmente di generalizzare per un punto a distanza generica r.
Inviato: 08 feb 2006, 09:45
da NEONEO
Usa steiner!
Inviato: 09 feb 2006, 11:16
da tuvok
non credo che sia così semplice... la formula L=I[omega] vale solo se I e omega sono costanti. Per riferire il momento angolare a un punto a distanza R da O bisogna calcolare la somma vettoriale di tutti i momenti angolari delle singole particelle che compongono il disco.... E per una singola particella i vettori posizione e quantità di moto non sono più perpendicolari se non riferiti a O...
Ma con un po' di calcoli vettoriali è fattibile lo stesso
Inviato: 15 feb 2006, 11:45
da cavallipurosangue
Fino a che $ r\leq R $, puoi applicare il teorema di Steiner tranquillamente, infatti:
$ L=\displaystyle{\sum_{n=0}^km_n v_nr_{\perp_{n}}}=\omega\sum_{n=0}^km_nr_{\perp_{n}}^2=I\omega $
Poi per il Th. di Steiner ti trovi il momento d'inerzia:
$ I=I_{cdm}+mr^2 $
Fine.
Inviato: 23 feb 2006, 20:44
da tuvok
Come si spiega allora il fatto che il momento angolare del disco calcolato rispetto a un punto a distanza R dal centro è sempre Lo? (dove Lo è il momento angolare calcolato rispetto al centro)
Inviato: 25 feb 2006, 15:49
da giorgiobusoni87
tuvok ha scritto:Come si spiega allora il fatto che il momento angolare del disco calcolato rispetto a un punto a distanza R dal centro è sempre Lo? (dove Lo è il momento angolare calcolato rispetto al centro)
significa che la velocità angolare omega viene diminuita (conservazione momento angolare==> W*I= costante)
Il momento angolare a distanza R è 3/2MR^2, per il centro era 1/2MR^2, quindi la velocità angolare finale è 1/3 di quella iniziale e il sistema ha compiuto un lavoro L=1/2*1/2MR^2*W^2-1/2*3/2MR^2*(W/3)^2=1/6MR^2W^2
Inviato: 25 feb 2006, 18:53
da tuvok
Scusatemi, non mi ero spiegato bene: il problema non chiedeva di IMPERNIARE il disco su un nuovo punto a distanza R dal centro, altrimenti è chiaro che vale la conservazione del momento angolare! Il disco invece ruota sempre rispetto a O, che resta fisso: il problema chiede di calcolare il momento angolare rispetto a un ipotetico punto del piano a distanza R da O che NON ruoti insieme col disco, ossia mantenga la sua posizione rispetto a O.
Questo calcolo torna utile in tutti quei problemi di dischi ruotanti che vengono portati a contatto, ecc...
Inviato: 27 feb 2006, 00:38
da giorgiobusoni87
ok, è sicuramente risolvibile con un integrale bello complicato: l'ho fatto or ora (con l'ausilio della calcolatrice) e si fa (mi viene 17/32MWR^2, probabilemnte ho sbagliato a digitare qualcosa comunque siamo lì)
non so se esiste un metodo meno complicato
Inviato: 01 mar 2006, 19:30
da tuvok
Io l'avevo risolto così:
sia $ \vec{r_i} $ il vettore che ha coda in O e punta nella i-esima particella del disco e sia $ \vec{\rho_i} $ il vettore che ha coda nel punto a distanza R e punta nella i-esima particella; sia inoltre $ \vec{\omega} $ la velocità angolare del disco. Applicando la definizione di momento angolare è chiaro che
$ \vec{L_0}=\sum_i m_i\vec{r_i}\wedge\vec{v_i} $
$ \vec{L_R}=\sum_i m_i\vec{\rho_i}\wedge\vec{v_i} $
Ma poichè $ \vec{v_i}=\vec{r_i}\wedge\vec{\omega} $ e $ \vec{\rho_i}=\vec{r_i}-\vec{R} $ allora
$ \vec{L_R}=\sum_i m_i(\vec{r_i}-\vec{R})\wedge\vec{v_i}=\vec{L_0}-\vec{R}\wedge\sum_i m_i\vec{v_i} $ che è pari a $ \vec{L_0}-\vec{R}\wedge((\sum_im_i\vec{r_i})\wedge\vec{\omega}) $
Ma poichè $ \sum_im_i\vec{r_i} $ definisce il centro di massa del disco, allora si ha che $ \sum_im_i\vec{r_i}=\vec{0} $ e quindi che
$ \vec{L_R}=\vec{L_0} $, $ \Vert\vec{L_R}\Vert=\frac{MR^2\omega}{2} $
Inviato: 01 mar 2006, 23:56
da NEONEO
ok, adesso ho capito..... cmq non lo sapevo che valesse questa proprietà...... forse perchè non l'ho neanche mai usata. Potresti proporre un problema in cui se ne fa uso?
Ciao
Inviato: 02 mar 2006, 11:13
da tuvok
Due dischi uniformi, di massa, raggio e velocità angolare rispettivamente $ M_1,M_2 $, $ R_1,R_2 $ e $ \omega_1,\omega_2 $.
I dischi vengono portati a contatto e nel punto di contatto si ha rotolamento puro. Trovare la velocità angolare finale di rotazione $ \omega^' $
Inviato: 08 mar 2006, 23:28
da NEONEO
dovrebbe essere:
$ \omega'=\frac{ I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2} $
Notare l'impegno con il latex......
Inviato: 09 mar 2006, 11:47
da tuvok
Mi sono spiegato male: bisogna trovare le velocità angolari finali $ \omega'_1 $ e $ \omega'_2 $, che sono distinte, poichè devi tenere conto della conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto e della condizione di rotolamento puro: $ \omega'_1R_1=\omega'_2R_2 $