OliForum Matematico

Se $ G $ è un gruppo è $ H,K $ sono suoi sottogruppi normali, è vero che $ H\cong K \Leftrightarrow G/H \cong G/K $?
Credo di aver dimostrato sicuramente l'implicazione $ \displaystyle\Rightarrow $ e probabilmente anche l'altra, ma prima di postare volevo sapere cosa ne pensate.

P.S. Verosimilmente nei prossimi giorni posterò qualche altro esercizio così standard perchè sono vecchi quesiti di cui non ho le soluzioni di un esame che sto preparando, e quindi volevo sapere se i moderatori preferiscono che raccolga tutto in questo unico topic, o se di volta in volta ne apra uno nuovo.

In linea di massima, la regola è di postare un singolo esercizio per filo (a meno che gli esercizi non siano logicamente legati [es.: un problema e la sua bonus question; un problema e le sue generalizzazioni; un problema e altri problemi che utilizzino il primo come lemma]). Ma è una regola abbasanza lasca e fidati del tuo buon senso.

Per quanto riguarda i gruppi, credo che ti convenga controllare le tue dimostrazioni, perché entrambe le implicazioni sono false.

si scusa ho scritto male: le ipotesi sono $ \exists\phi\in Aut(G): \phi(H)=K $ e non semplicemente che i due sottogruppi normali sono isomorfi. la prima implicazione è vera perchè un esercizio d'esame chiedeva di dimostrarla, la seconda è chiesto di stabilire se è vera o falsa.

La seconda è falsa. Piglia, ad esempio:
$ G=\mathbf Z/(4) \times \mathbf Z/(2) $
$ H=\mathbf Z/(4) \times \{e\} $
$ K=\mathbf Z/(2) \times \mathbf Z/(2) $

I quozienti sono isomorfi, ma H e K non lo sono, quindi a maggior ragione non può esistere un automorfismo ecc...

Potreste dirmi la definizione esatta di gruppo.

se i mod mi danno l'ok, sarei per postare qualcosina di mne anche nella sezione "glossario e teoria di base"... altrimenti si potrebbe aprire un nuovo thread, qui, in mne...
intendo, per rispondere alla domanda di gg.
non mi sembra il caso di continuare qui la discussione "di base" sui gruppi, o no?
(in ogni caso, per essere spiccio, è un insieme dove puoi "moltiplicare associativamente" e "dividere").

Grazie ,gg mi piace!

ma_go ha scritto:se i mod mi danno l'ok, sarei per postare qualcosina di mne anche nella sezione "glossario e teoria di base"...

Questo non è da fare, la sezione del glossario è pensata per chi vuole allenarsi per le olimpiadi.
La sezione di mne invece è pensata per
- dirottare le discussioni che cominciano altrove e degenerano nel non elementare,
- fungere da valvola di sfogo per i deliri di spocchia di matematici saccenti, frustrati e ipercomunicativi,
- ospitare problemi di cui non si conosce una soluzione elementare.

A ciò aggiungiamo che si può rispondere a goedelgauss in una riga e senza aprire nuovi thread, ad esempio in questo modo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_algebrico

intendo, per rispondere alla domanda di gg.

Come scritto anche qui, il rispondere ad un solo utente (che tecnicamente non ha nemmeno fatto una domanda), su un argomento oltretutto OT rispetto agli scopi del forum, non giustifica l'apertura di un thread. Usiamo i messaggi privati.