Beh, allora ...
Iniziamo dalle equazioni omogeneee (senza termine noto) :
$ a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0 $ con $ a,b,c\in\mathbb{R} $
Supponiamo pure che $ a\neq0 $, altrimenti non è del second'ordine
, e quindi dividiamo per a : $ \ddot{y}+\displaystyle{\frac{b}{a}}\dot{y}+\displaystyle{\frac{c}{a}}y=0 $. Poniamo $ K=b/a,\ H=c/a $
Ora, consideriamo quella che si chiama
equazione associata :
$ s^2+Ks+H=0 $
e le sue radici. Si possono avere tre casi : (I) radici reali distinte (II) radici reali coincidenti (III) radici complesse coniugate.
Questi tre casi corrispondono ovviamente al segno di $ K^2-4H $.
CASO (I)
Se $ K^2-4H>0 $, siano $ s_1,s_2 $ le due soluzioni reali distinte, date da $ \displaystyle{s_{1,2}=\frac{-K\pm\sqrt{K^2-4H}}{2}} $.
Allora
TUTTE LE SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE SONO DELLA FORMA SEGUENTE
$ y(x)=Ae^{s_1x}+Be^{s_2x} $
dove A,B sono opportuni numeri reali che vengono determinati grazie alle condizioni al contorno (per una equazione del secondo ordine ne servono due, ad esempio posizione e velocità iniziali, ovvero y(0) e y'(0), o più in generale in un qualunque punto).
CASO (II)
Se $ K^2-4H=0 $, vi sono due soluzioni reali coincidenti date da $ s=s_1=s_1=\displaystyle{-\frac{K}{2}} $. Allora
TUTTE LE SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE SONO DELLA FORMA SEGUENTE
$ y(x)=e^{sx}(Cx+D) $
con C,D opportuni numeri reali da determinare con le condizioni al contorno.
CASO (III)
Se $ K^2-4H<0 $, vi sono due soluzioni complesse coniugate $ \displaystyle{w_{1,2}=-\frac{K}{2}\pm\imath\frac{\sqrt{4H-K^2}}{2}} $.
Allora
TUTTE LE SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE SONO DELLA FORMA SEGUENTE
$ y(x)=e^{-K/2}\left(E\cos\left(x\sqrt{4H-K^2}\right)+F\sin\left(x\sqrt{4H-K^2}\right)\right) $
con E,F opportuni numeri reali da determinare con le condizioni al contorno.
Ecco ... se vuoi sapere il perchè queste siano tutte e sole le soluzioni, mi devi dire che conosci un po' di matrici e di spazi vettoriali, ma se volevi semplicemente sapere la ricetta, eccotela.
Una piccola nota : in fisica ad esponente e nei seni e coseni, ci vanno sempre e solo cose adimensionate, quindi un modo per controllare se hai fatto bene i conti è verificare che K^2-4H abbia le dimensioni di un periodo (infatti, io ho considerato una funzione y(x), ma in fisica, più probabilmente avrai una funzione che dipende dal tempo.
Da ultimo, nel caso ti trovassi davanti all'equazione non omogenea
$ \ddot{y}+K\dot{y}+Hy+J=0 $
con anche J numero reale, otterrai le sue soluzioni prendendo prima le soluzioni dell'equazione omogenea (senza J) e sommando a queste la funzione costante -J/H, se H non è nullo, oppure -Jx/K se H=0 e K non lo è. Se H,K fossero entrambi uguali a zero ... beh, è l'equazione del moto uniformemente accelerato.
Se invece ti trovi davanti all'equazione
$ \ddot{y}+K\dot{y}+Hy+J(x)=0 $ dove J(x) è funzione di x (ad esempio sin(x) o x+x^2 o che so io), non ci sono tecniche standard semplici : quello che devi trovare è almeno una funzione $ \tilde{y}(x) $ che è soluzione di questa equazione e poi sommare ad essa le soluzioni dell'equazione omogenea associata, ovvero quella in cui hai tolto J(x).
Ad esempio : $ \ddot{y}+K\dot{y}+Hy + x+1=0 $ dove appunto J(x)=x
+1; una soluzione di questa equazione si può trovare ad occhio tra i polinomi di primo grado ed è $ \tilde{y}(x)=\displaystyle{\frac{x}{H}+\frac{H-K}{H^2}} $. Per ottenere tutte le soluzioni dell'equazione, basta trovare la soluzione generale (come detto sopra) di $ \ddot{y}+K\dot{y}+Hy=0 $ (senza J(x)) e sommare ad esse la soluzione particolare $ \tilde{y}(x) $ che abbiamo trovato.
Un caso che in fisica capita (oscillatore smorzato periodicamente forzato, o circuiti elettrici particolari) è quello in cui $ J(x)=d\cos\left(\omega x\right) $... ma la soluzione è un po' complicata e non ho voglia di cercarla ora
.
Spero che questo ti basti.
