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Dimostrare che $ n \in N $ è primo se e solo se:
$ \sigma (n) + \phi(n) = n \cdot d(n) $,
dove $ \sigma(n) $ sta per la somma dei divisori di $ n $, $ \phi(n) $ è il numero di coprimi a $ n $ e minori dello stesso, $ d(n) $ è il numero dei divisori di $ n $.

Ciao

Un numero primo ($ p $) ha per definizione sè stesso e 1 come divisori,da cui $ \sigma(p)=p+1 $ e $ d(x)=2 $.
$ \phi(p)=p-1 $,cioè i suoi precedenti.Da cui la tesi.

Si può anche svolgere sfuttando le proprietà dell'implicazione,ma le considerazioni finali sono le stesse.

(Fa piacere trovare un'altro 87 con passione per il divin GAUSS)

Così si è dimostrato che vale per i primi. La parte difficile è dimostrare che vale SOLO per i primi

Se $ n $ è primo, banalmente $ \sigma(n) + \varphi(n) = 2n = n \cdot d(n) $. Se poi $ n = p^\alpha $, dove $ p \in \mathfrak{P} $ ed $ \alpha > 1 $ è un intero, allora $ \sigma(n) + \varphi(n) = n \cdot d(n) $ sse $ 1 + p + \ldots + p^\alpha + p^{\alpha-1}(p-1) = (\alpha +1)p^\alpha $, i.e. soltanto se $ 1 \equiv 0 \bmod p $, assurdo! Sia perciò nel seguito $ n = \prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i} $, dove $ r \ge 2 $ è un intero; $ p_1, p_2, \ldots, p_r $ sono primi naturali a due a due distinti e $ \alpha_i \in \mathbb{Z}^+ $, per ogni $ i \in \overline{1, r} $. Vale $ \displaystyle d(n) = \prod_{i=1}^r (1 + \alpha_i) \ge 2^r $ e $ \displaystyle\frac{\sigma(n)}{n} +\frac{\varphi(n)}{n} < \prod_{i=1}^r \frac{p_i}{p_i - 1} + \prod_{i=1}^r \frac{p_i - 1}{p_i} < 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{r-1} + \frac{1}{2} $.

Eppure $ \displaystyle 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^k + \frac{1}{2} \le 2^{k+1}$ sse $3^k + 2^{k-2} \le 4^k $, i.e. se $ 3^{k-1} \le 4^{k-1} $, che certamente è vero per ogni $ k \in \mathbb{Z}^+ $. Ne risulta $ \sigma(n) + \varphi(n) < n \cdot d(n) $. Infine $ \sigma(1) + \varphi(1) = 2 \ne 1 = 1 \cdot d(1) $.

Forse non è più semplice dire che $ \phi(n)+d(n)=n+1 $,da cui:

$ \sigma(n)=(n+1)d(n)-n-1 $
da cui estraendo dai divisori n e 1:
$ n+1+\sigma'(n)=(n+1)d(n)-n-1 $,$ 2n+2+\sigma'(n)=(n+1)(d'(n)+2) $
Dove $ \sigma'(n) $ è la somma dei divisori esclusi 1 e n ,e $ d'(n) $ è il numero di divisori esclusi 1 e n.
Donde:$ \sigma'(n)=(n+1)d'(n) $ che ha soluzione solo con i membri uguali a 0 (cioè con n primo), infatti :
$ \displaystyle\sigma'(n)/d'(n)=n+1 $ che è assurdo perchè è la media dei divisori "interni" e deve essere compresa fra 1 e n

goedelgauss ha scritto:Forse non è più semplice dire che $ \phi(n)+d(n)=n+1 $ [...]

E' uno scherzo o cosa?! Questa identità l'è vera se $ n $ è primo. Altrimenti è follia allo stato puro...

Oh, c'è una via più semplice: per ogni intero $ n \ge 2 $, vale $ n d(n) - \sigma(n) = \sum_{d\;\! \mid n} (n-d) \ge n - 1 \ge \varphi(n) $, dove sussiste l'uguaglianza sse $ n \in \mathfrak{P} $. Goooooooood...

Hoops, ho capito adesso cosa è $ \phi(n) $.


(Comunque se fosse stato diversamente sarebbe stato elegante....... )

...se quel tal non fosse morto, oggi ancor sarebbe vivo, certo...