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Un problema carino dalla dispensa sulle disuguaglianze di Thomas Mildorf.

Sia $ P(x) $ un polinomio con coefficienti positivi. Dimostrare che se

$ \displaystyle P\left(\frac{1}{x}\right) \geq \frac{1}{P(x)} $

è vera per $ x = 1 $, allora è vera per ogni $ x > 0 $.

Spider

Ma per ogni x appartenente a R ?

No, per ogni x appartenente a R, ma positivo.

Diciamo di scrivere il nostro polinomio come $ \displaystyle \sum_{i=0}^n {a_i}x^{i} $

Allora, per l'ormai mitico Cauchy Schwarz, abbiamo:

$ \displaystyle \bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}x^{i}\bigg)\bigg(\sum_{i=0}^n {a_i}\frac{1}{x^{n}}\bigg) \ge \bigg(\sum_{i=0}^n a_i\bigg)^{2} $

A sinistra abbiamo $ \displaystyle P(x)P\Big(\frac{1}{x}\Big) $ mentre a destra abbiamo $ P(1)^{2} $, maggiore di 1 per ipotesi.

Ovviamente giusta

Era solo un omaggio a Cauchy-Schwarz

Spider