OliForum Matematico

Se mi trovassi una disuguaglianza del tipo
$ 3\cdot(a+b)\cdot(b+c)\cdot(c+a) \leq 8\cdot(a^3+b^3+c^3) $
potrei semplicemente dire che, dato che abbiamo 24 termini a sinistra e 24 a destra, e a sinistra gli esponenti sono più "distribuiti", è vera per il bunching, senza altro?
O devo dare per forza una dimostrazione diversa?
Grazie, ciao!
Davide

La dimostrazione effettiva non è tanto impegnativa...

AM <= CM:

$ \sqrt[3]{ \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} } \geq \frac{a+b+c}{3} $:
$ \frac{8(a^3+b^3+c^3)}{3} \geq \frac{8(a+b+c)^3}{27} $.

GM <= AM sui termini $ a+b $, $ b+c $, $ a+c $:
$ \frac{2(a+b+c)}{3} \geq \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)} \Rightarrow $
$ \frac{8(a+b+c)^3}{27} \geq (a+b)(b+c)(a+c) $, e per la relazione precedente:
$ \frac{8(a^3+b^3+c^3)}{3} \geq \frac{8(a+b+c)^3}{27} \geq (a+b)(b+c)(a+c) $, da cui segue la Tesi.

Il problema non è quello: è se si possa semplicemente "darla per buona" così com'è citando il bunching, anche se non si tratta esattamente di somme simmetriche.
Questa è semplice, ma potrebbero capitare casi più complessi.
Comunque grazie mille per la risposta

Imho è una cosa pericolosa usare il bunching senza esplicitare i calcoli... è come saltare un passaggio, che in generale non è detto che sia scontato.

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