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Dimostrare che un triangolo è rettangolo se e solo se vale $ a^2+b^2+c^2=8R^2 $ dove a,b,c sono i lati del triangolo e R è il raggio della circonferenza circoscritta.

(dal thread Qualche esercizio 2 di Piera, poi cancellato perchè ritenuto indegno ed ora riabilitato agli occhi del mondo)

Parte 2
Poiche' in un triangolo (non degenere) vi sono almeno due angoli acuti, ipotizziamo
che essi siano $ \displaystyle \alpha ,\beta $
Per Carnot e' $ \displaystyle c^2+2ab\cos\gamma=a^2+b^2 $ e quindi la relazione diventa:
$ \displaystyle 2c^2+2ab\cos\gamma-8R^2=0 $
Ma: $ \displaystyle a=2R\sin\alpha,b=2R\sin\beta,c=2R\sin\gamma,\pi-(\alpha+\beta)=\gamma $
e quindi:
$ 8R^2\sin^2(\alpha+\beta)-8R^2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha \sin\beta-8R^2=0 $
Oppure di seguito :
$ \displaystyle -\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha \sin\beta-[1-\sin^2(\alpha+\beta)]=0 $
$ \displaystyle \cos(\alpha+\beta)\sin\alpha \sin\beta+\cos^2(\alpha+\beta)]=0 $
$ \displaystyle \cos(\alpha+\beta)\cos\alpha \cos\beta=0 $
Poiche' $ \displaystyle \alpha,\beta $ sono per ipotesi acuti,si ricava che:
$ \displaystyle \cos(\alpha+\beta)=0->\alpha+\beta=\frac{\pi}{2} $
Leandro

Se non mi sbaglio di grosso c'è una simpatica soluzione sintetica (o quanto meno non trigonometrica) alla parte difficile del se e solo se, quindi forza gente, altre soluzioni cercansi.

Siano A, B e C i vertici del triangolo di lati AB=c, BC=a e CA=b.

Se AB o AC sono dei diametri del circoncerchio c di ABC, abbiamo finito la prova.

Supponiamo che ne' AB ne' AC siano diametri .

Se D e' il secondo estremo del diametro di c per A, si ha che

DC^2 = AD^2 - AC^2 = (2r)^2 - b^2

e

DB^2 = AD^2 - AB^2 = (2r)^2 - c^2.



Se, per il nostro ABC, risulta che a^2+b^2+c^2 = 8r^2, allora

DC^2 + DB^2 = a^2.

Questo per il teorema di Pitagora ipmlica che BCD e' retto in D quindi BC e' un diametro e ABC e' retto in A.

Dunque, vediamo; forse mi sovrappongo alle soluzioni già date, ma non credo sia proprio uguale.
Consideriamo il teorema di Pitagora ed il suo inverso come un unico teorema del tipo "se e solo se".
Sappiamo anche che un triangolo inscritto in una circonferenza è retto se e solo se la sua ipotenusa è il diametro.
Ora, l'ipotenusa è lunga 2r, il suo quadrato 4r^2 e la somma dei quadrati dei due cateti è (per Pitagora) 4r^2. Ora ci basta sommare per arrivare a 8r^2.
Scusate la notazione, ma sono formule semplici, comprensibili anche se scritte senza TeX.

Hmm desko, tu così dimostri che se il triangolo è rettangolo, allora vale la formula, nel seguente modo
Tri rett ==> un lato è diametro ==> l'ipotenusa è 2r ==> Per Pitagora vale la formula

Purtroppo non tutti i passaggi sono invertibili, quindi questa non funziona come dimostrazione del viceversa, ovvero che, se vale la formula, allora il triangolo è rettangolo.