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1) I triangoli equilateri ABC e AB'C' hanno in comune soltanto il vertice A. Inoltre i punti C, B, C' sono allineati, con B compreso fra gli altri due. Sia G il baricentro del triangolo AB'C'. Dimostrare che CG è la bisettrice dell'angolo ACB.

2) In un triangolo acutangolo, CF è un'altezza con F su AB, e BM è una mediana con M su CA. Sapendo che BM = CF e <MBC = <FCA, dimostrare che il triangolo ABC è equilatero.

Piera ha scritto:1) I triangoli equilateri ABC e AB'C' hanno in comune soltanto il vertice A. Inoltre i punti C, B, C' sono allineati, con B compreso fra gli altri due. Sia G il baricentro del triangolo AB'C'. Dimostrare che CG è la bisettrice dell'angolo ACB.

Bello, ma perché imporre che B sia compreso fra gli altri due punti? il teorema mi sembra vero anche per C' compreso (non ho verificato per C compreso ma sospetto che valga anche in quel caso).
Per la dimostrazione si può procedere per via analitica, ma preferisco cercarne una più elegante e sintetica.

Nemmeno io ho verificato se vale... comunque ti puoi limitare a dimostrare solo quello che è richiesto.
Tutti gli esercizi che ho proposto (forse tranne uno) si possono risolvere per via sintetica. La maggior parte di questi esercizi sono stati dati al Round 2 delle Olimpiadi inglesi e magari in questi giorni posto il link.

1°

Risulta:
ACC'+AGC'=60°+120°=180°
e pertanto ACC'G e' ciclico. Ne segue che :
ACG=AC'G=30°.
Leandro.