OliForum Matematico

Let $ a,b,c \in R^+ $. Prove that:
$ \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc}+ \sqrt{ac}}{3} \leq \sqrt[3]{\frac{a+b}{2} \cdot \frac{b+c}{2} \cdot \frac{a+c}{2} } $

È solo un'idea venuta fuori così, ma secondo vuoi può aver senso operare una sostituzione del tipo:
$ x=a+b+c $ e $ y=abc $ ?

Soluzione BRUTTA, gli esteti e i puristi non guardino, ma almeno imparo ad usare il bunching...

Prima di tutto per comodità mando a in a^2 e così via, ottenendo

$ \displaystyle \frac {ab+bc+ca}3 \leq \sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}8} $

Ora elevo al cubo ambo i membri e comincio i contazzi fino ad arrivare a

$ \displaystyle 4\sum{a^3b^3}+24\sum{a^3b^2c}+8\sum{a^2b^2c^2}\leq 27\sum{a^4b^2}+9\sum{a^2b^2c^2} $

ossia

$ \displaystyle 4\sum{a^3b^3}+24\sum{a^3b^2c}\leq 27\sum{a^4b^2}+\sum{a^2b^2c^2} $

ma con il bunching

$ \displaystyle 26\sum{a^4b^2}\geq 4\sum{a^3b^3}+22\sum{a^3b^2c} $

e dunque mi manca da dimostrare che

$ \displaystyle \sum{a^4b^2}+\sum{a^2b^2c^2}\geq 2\sum{a^3b^2c} $

che è AM-GM per le coppie del tipo $ a^4b^2,a^2b^2c^2 $.
ciao

Ciao, anch'io avevo provato con il bunching, soluzione faticosa ma in genere efficace, ma credo di aver sbagliato qualke contazzo...

Cmq l'ho risolta anke senza bunching, posto al più presto

Ani-sama ha scritto:È solo un'idea venuta fuori così, ma secondo vuoi può aver senso operare una sostituzione del tipo:
$ x=a+b+c $ e $ y=abc $ ?

Ehm ... ben poco, se non ci aggiungi almeno un'altra variabile : hai a,b,c completamente indipendenti (cioè non c'è alcuna relazione che le lega), quindi non puoi riscrivere tutto con due sole variabili.

what ha scritto:Prima di tutto per comodità mando a in a^2 e così via, ottenendo

$ \displaystyle \frac {ab+bc+ca}3 \leq \sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}8} $

Ora elevo al cubo ambo i membri e comincio i contazzi fino ad arrivare a

Cmq dovrebbe essere: $ \displaystyle \sqrt{\frac {ab+bc+ca}3} $