radici reali
Inviato: 19 feb 2006, 02:03
è possibile, a colpo d'occhio, dire se un polinomio di grado n ha n radici reali?
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radici reali
Pagina 1 di 1
Inviato: 19 feb 2006, 12:45
no.
Inviato: 19 feb 2006, 13:45
Come dice fph criteri generali non ve ne sono (sarebbe troppo bello!!) .
Esistono tuttavia delle regole che permettono di sapere ,in alcuni casi, ad "occhio "
se l'equazione non ha tutte le radici reali.
Per esempio ce ne e' una che ritengo utile e che recita:
Un'equazione algebrica a coefficienti reali ha 2 radici complesse
se tra due termini dello stesso segno manca anche un sol termine.
Mi spiego con qualche esempio:
a)L'equazione $ x^2+3=0 $ ha 2 radici complesse perche' tra
$ +x^2 $ e +3 manca il termine in x.
b)L'equazione $ 3x^4+3x^2-5x+7=0 $ ha 2 radici complesse perche'
tra $ +3x^4 $ e $ +3x^2 $ manca il termine in $ x^3 $.
c) L'equazione $ 2x^5+5x^3-7x^2-9=0 $ ha quattro radici complesse
(ed una reale) perche' tra $ +2x^5,+5x^3 $ manca la $ x^4 $ e cosi pure tra $ -7x^2 $ e $ -9 $ manca la x
Leandro
Esistono tuttavia delle regole che permettono di sapere ,in alcuni casi, ad "occhio "
se l'equazione non ha tutte le radici reali.
Per esempio ce ne e' una che ritengo utile e che recita:
Un'equazione algebrica a coefficienti reali ha 2 radici complesse
se tra due termini dello stesso segno manca anche un sol termine.
Mi spiego con qualche esempio:
a)L'equazione $ x^2+3=0 $ ha 2 radici complesse perche' tra
$ +x^2 $ e +3 manca il termine in x.
b)L'equazione $ 3x^4+3x^2-5x+7=0 $ ha 2 radici complesse perche'
tra $ +3x^4 $ e $ +3x^2 $ manca il termine in $ x^3 $.
c) L'equazione $ 2x^5+5x^3-7x^2-9=0 $ ha quattro radici complesse
(ed una reale) perche' tra $ +2x^5,+5x^3 $ manca la $ x^4 $ e cosi pure tra $ -7x^2 $ e $ -9 $ manca la x
Leandro
Inviato: 19 feb 2006, 14:37
Teorema di Perron: se un polinomio monico è tale che $ 1+\sum_{i=1}^{n-1} |a_i|< a_n $ (dove 1 e gli $ a_i $ e sono i coefficenti dei termini del polinomio), il polinomio non ha radici reali (o qualcosa del genere)
Inviato: 19 feb 2006, 17:53
GRazie ragazzi...
Accidenti, speravo...altrimenti sarebbe stato troppo bello poter scrivere il polinomio, per esempio di 4 grado come x^4 - (a1 + a2 +a3 +a4)x^3 +(a1a2 +a1a3 +a1a4 +a2a3 +a2a4 +...)x^2 eccetera.
Accidenti, e io che credevo di avere risolto tutti i problemi quando nelle olimpiadi chedono, per esempio "la somma dei reciproci delle radici del polinomio"...
Non è che questa formula, che io avevo ricavato a mio tempo facendomi tutti i calcolini (x-a1)(x-a2)(x-a3)... è magari applicabile anche per le radici complesse, vero? C'è qualcuno che ne ha studiato il campo di validità? (sicuramente qualcuno l'avrà già studiato eccome..)
Accidenti, speravo...altrimenti sarebbe stato troppo bello poter scrivere il polinomio, per esempio di 4 grado come x^4 - (a1 + a2 +a3 +a4)x^3 +(a1a2 +a1a3 +a1a4 +a2a3 +a2a4 +...)x^2 eccetera.
Accidenti, e io che credevo di avere risolto tutti i problemi quando nelle olimpiadi chedono, per esempio "la somma dei reciproci delle radici del polinomio"...
Non è che questa formula, che io avevo ricavato a mio tempo facendomi tutti i calcolini (x-a1)(x-a2)(x-a3)... è magari applicabile anche per le radici complesse, vero? C'è qualcuno che ne ha studiato il campo di validità? (sicuramente qualcuno l'avrà già studiato eccome..)
Inviato: 19 feb 2006, 19:48
Beh, le formule di Vieté [quelle espressioni che hai trovato hanno questo nome] sono comunque sempre vere!
Inviato: 19 feb 2006, 21:28
"Viète" è la scrittura esatta.Azarus ha scritto:formule di Vieté
Veramente carino il teorema che ha citato Leandro.
ciao,