OliForum Matematico

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Scusate se la domanda può apparire banale e idiota (in effetti lo è).
Sono sempre stato convinto che la divisione per 0 fosse impossibile e priva di senso. Un mio amico mi ha detto invece che dà come risultato infinito, ha anche provato a dimostrarlo ma con esiti incerti.
Qual è la risposta giusta?
Come si dimostra?

Grazie 1000

Tale divisione è veramente impossibile;
però si vede che 1/x con x che tende a zero assuma valori sempre più grandi, e per ogni M grande qualsivoglia si può trovare un x tale che 1/x>M, per cui si dice che il limite di 1/x cion x che tende a 0 (x->0) è più infinito

Non ha senso invece dire che 1/0 fa infinito..

In simboli (tanto per esercitare un po' il mio LaTeX ):

$ \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{1}{0}=+\infty $ e $ \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{1}{0}=-\infty $

In effetti,1/0 può essere considerato infinito(o meglio,possiamo dire comunque che 1/0 é più grande di qualsiasi numero reale)
Su un bel libro della Sala Borsa("Il mondo dei grandi numeri",gradevole da principianti ad esperti matematici),si spiegava che 1/0,qualunque cosa fosse,doveva essere enorme.Riporto la spiegazione(non ho il libro sottomano,quindi non é una citazione testuale).
"Ad esempio,é maggiore di mille?
$ \frac{1}{0}>1000 $?
Se fosse una normale diseguglianza tra frazioni,del tipo
$ \frac{2}{5}>\frac{7}{4} $,
basterebbe moltiplicare le due frazioni per il M.C.M dei loro denominatori e otterremmo una disegualgianza tra numeri interi,che é facile verificare(nel caso avremmo 8>35 e l'uguaglianza é falsa).
Ma in questo caso non c'é M.C.M tra 0 e 1.E se moltiplico per zero(posso farlo) ottengo
1>1000*0 che equivale a dire 1>0,cosa evidente.1/0 é maggiore di mille,e in effetti,siccome otterrei lo stesso risultato mettendo un qualsiasi numero intero al posto di mille,é maggiore di qualsiasi numero.
E se aggiungessi 1000?
$ \frac{1}{0} + 1000=? $.Con le regole per la somma di frazioni si ha che
$ \frac{1}{0} + 1000=\frac{1}{0}+\frac{0*1000}{0}=\frac{1}{0} $.(a)
Ma certo!Uno fratto zero é cosi grande che aggiungere mille o un miliardo di miliardi non lo sfiora nemmeno.Come aggiungere una goccia all'oceano,anzi ancor meno.
E se moltiplico per mille?
$ \frac{1000}{0}>\frac{1}{0} $?
Sembrerebbe proprio di sì,ma non é vero.Se divido entrambe le frazioni per mille ho che
$ \frac{1000}{1000*0}>\frac{1}{1000*0} $ e quindi che
$ \frac{1}{0}>\frac{1}{0} $,evidentemente una contraddizione.Mille fratto zero é uguale a uno fratto zero:é un numero così grande che moltiplicato per mille o per qualsiasi numero reale non cambia di una virgola."
Credo sia un gradevole contributo.
Il libro concludeva dicendo che,nonstante quanto si é appena visto,1/0 non coincide con nessuna definizione matematica di infinito.Certo si può dire,come ho scritto all'inizio,che volendo proprio dare una parvenza di realtà a qualcosa di assurdo come 1/0 si può dire che é più grande di qualsiasi numero reale.
Ecco un'altra "dimostrazione" un po' furbesca e per nulla matematica ma certo comprensibile ed interessante del fatto che infinito per zero fa 1(zero per infinito é indeterminato,ossia dà come risultato un qualsiasi numero,quindi possiamo dire che dà anche uno;e se infinito per zero fa uno,1/0 deve dare infinito come risultato):
Moltiplicare zero per un qualsiasi numero reale significa dare immediatamente zero come risultato.E similmente se moltiplichiamo per infinito un qualsiasi numero otteniamo sempre infinito.Ma se moltiplichiamo zero e infinito tra di loro cosa otterremo?Zero o infinito?E' come mettere l'uno contro l'altro due lottatori invincibili:chi dei due perderà?Il risultato é giocoforza un pareggio:zero per infinito dà un risutato indeterminato,qualsiasi numero(0,5,917,pi greco,radice cubica di tre,-96,infinito) va bene come risultato.
Ripeto:non sono considerazioni matematiche(non possiamo fare nessuna considerazione matematicamente valida su 1/0,che non ha senso sotto nessun punto di vista),ma credo che queste farneticazioni possano essere piacevoli,almeno per qualcuno.Dunque?Come vi sembrano?
Saluti da Oblomov!
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(a)Il simbolo $ * $ indica il prodotto,ovviamente.[/quote]

dimpim ha scritto:In simboli (tanto per esercitare un po' il mio LaTeX ):

$ \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{1}{0}=+\infty $ e $ \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{1}{0}=-\infty $

Beh, così è scorretto. Le formule giuste sono:

$ \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty $ e $ \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty $

Fiu fiu fiuu... Ah-ehm, già, come l'ho scritta io non vuol dire nulla; si vede che ero troppo concentrato sul LaTeX...

Marco ha scritto:$ \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty $ e $ \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty $

Puoi ritradurlo segno per segno in un linguaggio comprensibile a gente scarsa e decisamente incompetente in matematica (fa come se dovessi spiegarlo al tuo gattto)?

Non ho un gatto (e soprattutto sono ignorante in analisi), ma ci provo lo stesso.

Allora, brevemente: l'operazione di limite consente di lavorare con quantità infinitamente piccole. Ad esempio, considera la retta dei numeri reali e prendi un valore su di essa. Facciamo che sia lo 0, visto che è il nostro caso.
Ora, tra lo 0 e l'intero successivo (cioè l'1) non c'è uno spazio vuoto, ma ci sono tanti altri numeri in mezzo. Tanti quanti? Infiniti. Quindi puoi anche operare con numeri che sono un po' più grandi dello 0 e un po' più piccoli dello 0.
Questi valori si indicano rispettivamente con:
$ 0^+ $ e $ 0^- $.

Poi, passiamo alle frazioni. Come abbiamo detto 1/0 non ha senso, però, per quello che abbiamo detto sopra, possiamo calcolare il risultato per valori un po' inferiori allo 0 e un po' superiori.
Prendi poi, ad esempio, 1/2. È 0,5. Prendi 1/1. Fa 1. Prendi 1/(1/2). Fa 2. Proseguendo così (con il denominatore che si rimpicciolisce sempre di più), il valore della frazione aumenta, per cui si dice che un numero diviso zero (in realtà un po' più o un po' meno di zero) fa infinito.
Se lo zero è negativo (valori un po' più piccoli) il segno della frazione è negativo, per cui si ha $ -\infty $; per $ x\to0^+ $ (x che tende a zero da destra) si ottiene $ +\infty $.

Spero di essere stato abbastanza chiaro e corretto (ho scritto un po' di fretta, adesso ho l'esame di teoria della patente - aarrghhh!).

Grazie e in bocca al lupo per la patente

I limiti sono un argomento avanzato e, se vogliamo, troppo oltre il livello delle nozioni che devono avere i messaggi del Glossario (che va visto come una "dispensona" di roba utile per chi si allena per le gare).

I discorsi di Oblomov e dimpim sono un po' troppo "con le mani". Magari possono essere intuitivi, ma lasciano l'idea che i limiti siano un argomento vago e poco chiaro. Nulla di più falso. Esiste una definizione precisissima di che cosa è un limite e se 1/0 ha senso oppure no. (chiunque abbia provato a calcolare 1/0 in un compito in classe delle superiori e si è ritrovato un'insufficienza, sa bene che 1/0 NON ha senso).

Purtroppo il corso di matematica della scuola superiore non sempre dà la definizione rigorosa di limite, perché preferisce un approccio naif, alla Dimpim-Oblomov. A mio modestissimo parere, questo è un errore, che lascia spazio ai discorsi vaghi e imprecisi che leggete qualche riga sopra (gli autori non se ne abbiano a male).

L'invito è quindi lasciare il Glossario pulito e utile per chi sta preparandosi alle gare olimpiche e di discutere argomenti avanzati (e il calcolo infinitesimale è senza dubbio ultra-olimpico) nell'apposita sezione.

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Per la cronaca e per i più curiosi, la definizione rigorosa del limite in questione, che richiede la buona conoscenza dei quantificatori e un po' di nozioni di topologia, è:

Per ogni insieme U, intorno di $ +\infty $, esiste un insieme V, intorno destro di 0, tale per cui, per ogni $ x \in V; x \neq 0 $, si abbia:
$ $f(x) = \frac 1 x \in U $.

Marco ha scritto:lascia spazio ai discorsi vaghi e imprecisi che leggete qualche riga sopra (gli autori non se ne abbiano a male).

Per niente! So bene che il mio intervento sui limiti è molto rozzo, ma questo è proprio ciò che mi è stato richiesto:

piever ha scritto:fa come se dovessi spiegarlo al tuo gattto

.
Era per non lasciare totalmente a bocca asciutta piever e per dare un'idea puramente intuitiva del concetto, utile (almeno spero) per tutti quelli che non sapevano di cosa si stesse parlando.

Per il resto, concordo in pieno con il messaggio di Marco: la trattazione rigorosa dei limiti non è un argomento semplice.

Secondo me potremmo anche metterci d'accordo per definire a tavolino 1/0=?, ma non risolveremo molto il problema, perché dovremmo interrogarci sulla natura di questo ?.
Il problema è che non gode di tutte le proprietà dei reali e quindi non è un numero reale.
Per esempio ?+1=?, ma l'equazione x=x+1 non sembra avere molte soluzioni.

Marco,non vorrei essere offensivo,ma...

Marco ha scritto:I limiti sono un argomento avanzato e, se vogliamo, troppo oltre il livello delle nozioni che devono avere i messaggi del Glossario.

Marco ha scritto:L'invito è quindi lasciare il Glossario pulito e utile per chi sta preparandosi alle gare olimpiche e di discutere argomenti avanzati (e il calcolo infinitesimale è senza dubbio ultra-olimpico) nell'apposita sezione.

Uh...io di ultra-olimpico non ci vedo proprio una mazza.Quanto ho scritto é davvero elementare e chiunque conosca la matematica anche solo delle medie dovrebbe capirmi.
E comunque credevo che il "Glossario" fosse in generale dedicato a chi volesse imparare anche solo per sé teorie matematiche nuove,non esclusivamente per le Olimat.Chiedo venia.

Marco ha scritto:I discorsi di Oblomov e dimpim sono un po' troppo "con le mani". Magari possono essere intuitivi, ma lasciano l'idea che i limiti siano un argomento vago e poco chiaro.

Marco ha scritto:Purtroppo il corso di matematica della scuola superiore non sempre dà la definizione rigorosa di limite, perché preferisce un approccio naif, alla Dimpim-Oblomov.

Naïf?"Con le mani"?
Marco,io come dimpim ho cercato di seguire le richisete di piever,spiegando in maniera per me comprensibile e attraente i ragionamenti che possiamo fare di primo acchito su qualcosa come 1/0.Né io né dimpim,a quello che vedo,abbiamo cercato di spiegare il concetto di limite.Piever ha chiesto semplicità,e io ho cercato di essere semplice.

Marco ha scritto:Nulla di più falso. Esiste una definizione precisissima di che cosa è un limite e se 1/0 ha senso oppure no.

Questo é fuor di dubbio,ma ripeto che non so proprio dove io o dimpim ci siamo messi a parlare di limiti.

Marco ha scritto:(chiunque abbia provato a calcolare 1/0 in un compito in classe delle superiori e si è ritrovato un'insufficienza, sa bene che 1/0 NON ha senso).

Marco,é ovvio che 1/0 non ha senso;io l'ho detto nel mio messaggio e ho messo le mani avanti,spiegando che per un attimo potevamo dimenticare che 1/0 non ha senso e provare a ragionarci brevemente su.1/0 non é infinito e io non intendo dimostrare il contrario(non si può ),ma solo mostrare alcune riflessioni che a me sono parse davvero gradevoli.

Marco ha scritto:Per ogni insieme U, intorno di $ +\infty $, esiste un insieme V, intorno destro di 0, tale per cui, per ogni $ x \in V; x \neq 0 $, si abbia:
$ $f(x) = \frac 1 x \in U $.

E con questo?Marco,le definizioni di limite abbondano in qualsiasi libro di matematica appena un po' avanzata;non vedo lo scopo di questa definizione,che mi sembra anche poco comprensibile e utilizzabile,sarà che, come ho già detto a HiTLeuLeR, non sono mai stato un bambino molto intelligente...

Marco ha scritto:A mio modestissimo parere, questo è un errore, che lascia spazio ai discorsi vaghi e imprecisi che leggete qualche riga sopra (gli autori non se ne abbiano a male).

Dimpim sembra non essersi preoccupato del tuo messaggio,ma io sono piuttosto seccato(quella definizione di naïf mi ha dato molto fastidio).Non mi aspettavo risposte di questo tenore.Comunque,padronissimo di dire quello che ti pare dei miei messaggi e di spostare i topic.
Anche tu non avertene a male,io ho risposto punto per punto alle tue affermazioni come mi é parso doveroso.Spero di essere stato esauriente.
Saluti,
Oblomov

Intanto non è per niente un problema, anzi, secondo me è un amicone!

Nel senso che quando cominci a lavorare con formule e ti timentichi cosa vogliono significare, l'amorevole denominatore ti ricorda per te quando le espressioni non hanno più significato, non solo secondo l'algebra, ma anche nella 'vita reale'!

Non credo di essermi spiegato, servirebbe un esempio...

Poi: prendiamo per definiti chiaramente i numeri naturali. Se interpreti l' 1/0 come soluzione all'equazione x * 0 = 1, non hai soluzioni (naturali).

Allora prova a definire i numeri razionali su $ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $ invece che su $ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_0 $!
E' impossibile.
La relazione $ (a,b) R (c,d) \iff a \cdot d = b \cdot c $ NON resterebbe un'equivalenza:
$ a \cdot b = b \cdot a $ (riflessiva) sì : la moltiplicazione è commutativa in Z
$ a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow c \cdot b = d \cdot a $ (simmetrica)sì: ancora, proprietà commutativa in Z e riflessiva dell'uguaglianza
$ a \cdot d = b \cdot c \land c \cdot f = d \cdot e \Rightarrow a \cdot d \cdot c \cdot f = b \cdot c \cdot d \cdot e = a \cdot f = b \cdot e $ (transitiva): NON VALE IN Z (sì in $ \mathbb{Z}_0 $), prendi per esempio le 'frazioni': $ (1;2), (0;0), (1;3) $, si vede subito che non vale (ho moltiplicato ambo i membri per 0).

Quindi, anche se riesci a dividete una torta in zero parti, anche da un punto di vista matematico formale non avrebbe senso.

tanto per dire qualcosa di utile...
molto carina l'argomentazione di edriv, davvero.. convincentissima.

comunque, spesso e volentieri è utile poter _definire_ per necessità alcune moltiplicazioni _formalmente_.
ad esempio...
in geometria proiettiva (birapporti e tlf) è comodo definire le operazioni "impossibili" nel seguente modo: $ \frac10 = \infty $(senza segno), e $ \frac{\infty}{\infty} = 1 $, mentre in teoria della misura si definisce $ \infty \cdot 0 = 0 $.
chiaro, non vanno interpretate come operazioni, ma sono più o meno delle convenzioni, che vanno inquadrate nel relativo ambito teorico...