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Con un algoritmo informatico molto semplice, ho verificato che:
$ 131 $; $ 12421 $; $ 1235321 $; $ 123464321 $; $ 12345754321 $; $ 1234568654321 $; $ 123456797654321 $sono numeri primi. Si potrebbe notare come - lo dico molto banalmente - questi numeri siano ottenuti aggiungendo $ 1 $ alla "cifra centrale" di un corrispondente quadrato del tipo $ 111^2 $. Per dire: $ 111^2=12321 $, e $ 12421 $ è primo, da quanto ho informaticamente verificato.

Idee? Si può pensare di estendere in qualche modo quel "gruppo" di primi andando avanti in maniera similare? Chiedo a tutto il forum, finora queste qua sono per me solo mere "osservazioni".

Un saluto, e grazie!

nel caso $ (1111111111)^2=1234567900987654321 $ a quale cifra aggiungi $ 1 $? secondo la regolare dovrebbe essere $ 1234567901987654321 $ però è brutto. Prova a vedere quale è primo tra questi due:
$ 1234567901987654321 $ e $ 12345678911987654321 $

Di certo ti posso dire che la formula non produce solo numeri primi.Ad esempio,se il numero di partenza è formato da 15 cifre uguali ad 1,il numero ottenuto col tuo algoritmo è divisibile per 61,e dunque è composto.La divisibilità per 61 si verifica con un pò di congruenze,se vuoi ti posto i passaggi

Il problema grosso, come si sarà capito, è che il fatto di "aggiungere uno alla cifra centrale" è una cosa intuitivamente comprensibilissima, ma che perde valore da quando si ha il numero $ 1234567900987654321 $. Avevo immaginato qualcosa ma non ho i miei fogli a portata di mano... se inventate qualcosa postate!!

Ani-sama ha scritto:Il problema grosso, come si sarà capito, è che il fatto di "aggiungere uno alla cifra centrale" è una cosa intuitivamente comprensibilissima, ma che perde valore da quando si ha il numero $ 1234567900987654321 $. Avevo immaginato qualcosa ma non ho i miei fogli a portata di mano... se inventate qualcosa postate!!

Scusa perchè perde di valore?Aggiungendo uno alla cifra centrale si ottiene il numero $ 1234567901987654321 $.Cosa c'è di strano?

Piu in generale,se il numero iniziale è formato da $ k $ cifre 1,il numero ottenuto col tuo algoritmo è

$ \displaystyle\frac{10^{2k}-61*10^{k-1}+1}{81}\displaystyle $

Si vede facilmente che se $ k $ è della forma $ 30h+15 $, il numero ottenuto è multiplo di 61.

Non ci siamo capiti... perde di valore nel senso che non necessariamente si ottiene un numero primo. Quel sistema restituisce num. primi fino a $ 123456797654321 $, ma poi... è diverso, e per ottenere numeri primi manipolando le cifre in maniera simile a quanto si faccia fino a quel numero lì... non è più sufficiente aggiungere 1 alla cifra centrale, ecco, non so se mi spiego.

Chiedevo appunto se ci fossero idee in merito ad un'eventuale ampliamento di un insieme di primi siffatto... Non è "cosa si ottiene iterando l'algoritmo" la questione, quanto piuttosto sapere "quale sia (se esiste!) l'algoritmo per ottenere num primi... in quella maniera lì!"

Ok,avevo frainteso.Non penso sia possibile alcun ampliamento relativamente semplice al tuo procedimento.Credo infatti che,anche manipolando le cifre in maniera diversa arriveresti ugualmente a trovare dei numeri composti.

A me viene solo in mente che 131 in base 11 è divisibile per 5, quindi l'"algoritmo di generazione dei numeri primi" funziona solo in alcune basi fortunate.

Un qualcosa di simile e' determinare quanti sono i primi repunit, cioè della forma $\frac{1}{9}(10^n-1)$ per qualche intero positivo $n$; seppur la questione sembra ancora piu' facile, e' tutt'ora ancora un problema aperto.

Qui una lista dei piu' piccoli primi trovati di quel tipo; se poi invece il problema e' determinare una funzione della forma $\displaystyle f(x)=\sum_{i=1}^n{p_i(x)q_i(x)^{r_i(x)}}$ con $p_i,q_i,r_i$ polinomi non costanti a coefficienti interi, tali che $f(x) \in \mathbb{P}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e $\lim_{x\to \infty}{f(x)}=\infty$ allora e' sufficiente notare che $f(x_0) \in \mathbb{P}$ implica $\displaystyle f(x_0) \mid f(x_0+k(f^2(x_0)-f(x_0))$ per ogni intero positivo $k$...