OliForum Matematico

Sono stato folgorato da questo problema improvviso, ma carino...
Scusate ma non lo so fare in LaTeX... trovare la cifra delle unità della sommatoria per x da 1 a 100 di x^x.
Buon divertimento!

...di rientro! Sia dunque $ \displaystyle s := \sum_{x=1}^{10q} x^x $, con $ q := 10 $. Vale allora $ \displaystyle s \equiv \sum_{x=1}^{10q} x \equiv 5q(10q+1) \equiv 0 \bmod 2 $ ed $ \displaystyle s \equiv \sum_{r=1}^9 \sum_{k=0}^{q-1} (10k + r)^{10k+r} \equiv \sum_{r=1}^9 \left(r^r \cdot \frac{r^{2q} - 1}{r^2-1}\right) \equiv 0 \bmod 5 $. Perciò $ s \equiv 0 \bmod 10 $.

Eccovi una soluzione alternativa:

Possiamo già estromettere dal calcolo tutti gli addendi la cui base termina per 1,5,6,0: infatti un numero che termina per 1 elevato ad un qualsiasi esponente (intero) continua a terminare per 1, analogo discorso per 5,6,0.
Di conseguenza abbiamo 10 numeri congrui a 1 mod 10, 10 congrui a 5, 10 congrui a 6, 10 congrui a 0; la loro somma è congrua a 120 (sempre mod 10) cioè a 0.

Estendendo questo ragionamento estromettiamo anche gli addendi la cui base termina per 4 o per 9: tutti quelli la cui base termina per 4 hanno l’esponente che, terminando anch’esso per 4, è pari, mentre tutti quelli la cui base termina per 9 hanno l’esponente che, terminando anch’esso per 9, è dispari. Si può verificare facilmente che ogni numero che termina per 4 elevato ad un esponente pari termina per 6, mentre ogni numero che termina per 9 elevato ad un esponente dispari continua a terminare per 9.
Ne consegue che, avendo 10 numeri congrui a 6 mod 10 e 10 numeri congrui a 9, abbiamo una somma congrua a 150 mod 10 quindi a 0.

Ci restano quindi solo da vedere quelli che terminano per 2,3,7,8.

Tramite le congruenze modulo 10 si trova che, per ogni n>0:

2^(4n) Ξ 6 (10) 2^(4n+1) Ξ 2 (10) 2^(4n+2) Ξ 4 (10) 2^(4n+3) Ξ 8 (10)
3^(4n) Ξ 1 (10) 3^(4n+1) Ξ 3 (10) 3^(4n+2) Ξ 9 (10) 3^(4n+3) Ξ 7 (10)
7^(4n) Ξ 1 (10) 7^(4n+1) Ξ 7 (10) 7^(4n+2) Ξ 9 (10) 7^(4n+3) Ξ 3 (10)
8^(4n) Ξ 6 (10) 8^(4n+1) Ξ 8 (10) 8^(4n+2) Ξ 4 (10) 8^(4n+3) Ξ 2 (10)

Nella somma 2^2+12^12+…+92^92 ci sono 5 esponenti multipli di 4 (12,32,52,72,92) e 5 esponenti congrui a 2 modulo 4 (2,22,42,62,82). La somma delle congruenze modulo 10 è pari a 5*6+5*4=50, congruo a 0 modulo 10.

Nella somma 3^3+13^13+…+93^93 ci sono 5 esponenti congrui a 1 modulo 4 (13,33,53,73,93) e 5 esponenti congrui a 3 modulo 4 (3,23,43,63,83). La somma delle congruenze modulo 10 è pari a 5*3+5*7=50, congruo a 0 modulo 10.

Nella somma 7^7+17^17+…+97^97 ci sono 5 esponenti congrui a 1 modulo 4 (17,37,57,77,97) e 5 esponenti congrui a 3 modulo 4 (7,27,47,67,87). La somma delle congruenze modulo 10 è pari a 5*7+5*3=50, congruo a 0 modulo 10.

Nella somma 8^8+18^18+…+98^98 ci sono 5 esponenti multipli di 4 (8,28,48,68,88] e 5 esponenti congrui a 2 modulo 4 (18,38,58,78,98]. La somma delle congruenze modulo 10 è pari a 5*6+5*4=50, congruo a 0 modulo 10.

Di conseguenza la somma totale è congrua a 0 modulo 10, dunque il numero in questione termina per 0.

Era la mia prima soluzione

in effetti è più lunga e meno tecnica di quella postata da Hitleuler, ma è pur sempre efficace