OliForum Matematico

Dalla gara "gran premio di matematica applicata":

Qual è il numero medio di volte che devo lanciare una moneta da 2 Euro in modo da ottenere sia testa che croce ? (si supponga la moneta perfettamente equilibrata).

io non hoben capito cosa volessero, quindi chiedo a voi... magari dopo posto anche la loro soluzione.
grazie

Ovviamente c'è un mezzo di probabilità che tu ci riesca con 2 lanci, un quarto di probabilità che tu debba farne 3, un ottavo per arrivare a 4 e così via.
2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 andando avanti all'infinito dà come risultato 3. Ovviamente non lo ho fatto fino a infinito, ma a un certo punto ho messo 2 volte l'ultimo numero a cui ero arrivato, avendo così un margine di approssimazione microscopico.
Quindi il risultato finale è 3.
Non è un metodo molto matematico, ma viste le mie conoscenze...
Spero che tutto ciò ti possa essere d'aiuto.
P.S. Se qualcuno spiegasse il metodo più "ortodosso" per calcolare 2/2+3/4+4/8.... mi farebbe un favore incredibile

piever ha scritto: ......
P.S. Se qualcuno spiegasse il metodo più "ortodosso" per calcolare 2/2+3/4+4/8.... mi farebbe un favore incredibile

Si ha:

$ \displaystyle S=\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{n}{2^{n-1}}} =\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+... $

Essa si può anche scrivere nel seguente modo:

$ \displaystyle S=\frac{1}{2}\left[2+\left(\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^1}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^2}\right)+...\right] $

Riordinando i vari termini si ottiene:

$ \displaystyle S=\frac{1}{2}\left[1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...\right)+\left(\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+...\right)\right] $

La prima serie è una serie geometrica di ragione 1/2 mentre la seconda è S per cui si ha:

$ \displaystyle S=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+S\right)=\frac{1}{2}\left(3+S\right)=>S=3 $

Un risultato generale si può ottenere utilizzando le derivate.

ok grazie; loro davano come soluzione la seguente:

"La probabilità di ottenere testa (o croce) con un lancio è 1/2, quindi, in media, si ottiene una testa (o una croce) con due lanci. Se al primo lancio esce testa, occorrono poi in media due lanci per ottenere croce, se invece al primo lancio esce croce, occorrono poi in media due lanci per ottenere testa. In tutto, in media, occorrono 3 lanci (risposta C). "

che però non mi era troppo chiara

gian ha scritto:"La probabilità di ottenere testa (o croce) con un lancio è 1/2, quindi, in media, si ottiene una testa (o una croce) con due lanci. Se al primo lancio esce testa, occorrono poi in media due lanci per ottenere croce, se invece al primo lancio esce croce, occorrono poi in media due lanci per ottenere testa. In tutto, in media, occorrono 3 lanci."

Effettivamente questo ragionamento è un po' più lineare del mio...
Comunque non sapevo che se c'è 1/2 di probabilità che qualcosa accada, in media questa probabilità si realizza al secondo tentativo.

Caso generale: Quante volte, in media, devo lanciare un dado di n facce in modo da ottenere tutti gli n numeri ?