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Determinare la cifra delle unità nella rappresentazione decimale di $ \displaystyle\left\lfloor \frac{10^{20000}}{10^{100} + 3}\right\rfloor $.

Lemma: essendo $ a, b \in \mathbb{N} $ e $ q \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ 0 < a < b $ ed $ a^q < a+b $, risulta che $ \displaystyle\left\lfloor \frac{b^q}{a+b}\right\rfloor\equiv (-1)^{q-1} a^{q-1}-\frac{1+(-1)^{q+1}}{2}\bmod b. $

Dim.: vale $ \displaystyle \frac{b^q}{a+b} = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} = $ $ \displaystyle b^{q-1} \cdot \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} + (-1)^q \cdot\frac{a^q}{a+b} $, per ogni $ q \in \mathbb{Z}^+ $. Se perciò $ a^q < a+b $, allora $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor = b^{q-1} \cdot\sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \left(\frac{a}{b}\right)^{\!k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $ $ \displaystyle = \sum_{k=0}^{q-1} (-1)^k \cdot a^k b^{q-1-k} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} $. Ne risulta $ \displaystyle \left\lfloor\frac{b^q}{a+b}\right\rfloor \equiv (-1)^{q-1} a^{q-1} - \frac{1 +(-1)^{q+1}}{2} \bmod b $, q.e.d.

Back to the problem: assumiamo $ a = 3 $, $ b = 10^{100} $ e $ q = 200 $. Poiché $ 3^{200} = 9^{100} < 10^{100} $, banalmente $ a^q < a+b $. Di conseguenza $ \displaystyle \left\lfloor\frac{10^{20000}}{10^{100} + 3}\right\rfloor \equiv -3^{199} \equiv -3^{-1} \equiv 3 \bmod 10 $, per via del lemma precedente.

EDIT: volevo quotare e invece ho combinato un casino... Aaah, la vodka!

Che solenne idiozia avevo scritto....

Scusa, vorresti dire che $ \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c} $ ?

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No comment

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Ho preso un abbaglio....