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In un esagono convesso ABCDEF le diagonali AD, BE , CF passano per uno stesso punto O. Sapendo che i triangoli AOB, COD, EOF hanno area, rispettivamente, 4, 6, 9, determinare la minima area possibile per l'esagono.
SUGGERIMENTO : utilizzare la disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica.

Indico con x la lunghezza di OX con X che puo' essere uno dei vertici dell'esagono e con [XYZ] il doppio della superficie del triangolo XYZ.

Si ha che:

[AOB] = ab sen(<AOB) = 8

[DOC] = dc sen(<COD) = 12

[EOF] = ef sen(<EOF) = 18.


Il minimo esagono si ottiene minimizzando S = [BOC]+[DOE]+[FOA].


Si ha che S = bc sen(EOF) + de sen(AOB) + fa sen(COD).


Si ha che P = [BOC]*[DOE]*[FOA]= 8*12*18.



Essendo S^3 >= 27P, il minimo cercato si ottiene per S^3 = 27*8*12*18 = 36^3.