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1)Siano $ a,b,c,\alpha,\beta,\gamma,S $ i lati,gli angoli e la superficie
del generico triangolo.
Dimostrare che si ha:
$ \displaystyle \frac{a+b}{\sin\gamma}+\frac{b+c}{\sin\alpha}+\frac{c+a}{\sin\beta} \geq \frac{3abc}{S} $

2) Siano $ \alpha,\beta,\gamma $ tre angoli (di cui 2 acuti ed il
terzo convesso) soddisfacenti la relazione:
$ \displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}+\tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\gamma}{2}+\tan\frac{\gamma}{2}\tan\frac{\alpha}{2}=1 $
Verificare che essi sono gli angoli di un triangolo.

3)Siano $ a,b,c,\alpha,\beta,\gamma,P $ i lati,gli angoli ed perimetro
di un triangolo acutangolo.
Provare che risulta:
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2}{\cos\gamma}+\frac{b^2+c^2}{\cos\alpha} +\frac{c^2+a^2}{\cos\beta} > P^2 $
Leandro

Leandro ha scritto:1)Siano $ a,b,c,\alpha,\beta,\gamma,S $ i lati,gli angoli e la superficie
del generico triangolo.
Dimostrare che si ha:
$ \displaystyle \frac{a+b}{\sin\gamma}+\frac{b+c}{\sin\alpha}+\frac{c+a}{\sin\beta} \geq \frac{3abc}{S} $

Il testo si può scrivere, usando la nota formula $ S=\dfrac{1}{2}ab\sin{\gamma} $

$ \dfrac{ab(a+b)}{2}+\dfrac{bc(b+c}{2}+\dfrac{ca(c+a)}{2}\ge 3abc \Leftrightarrow $
$ \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2}{6}\ge abc $
che è la disugualianza fra media aritmetica e geometrica.

Leandro ha scritto: 3)Siano $ a,b,c,\alpha,\beta,\gamma,P $ i lati,gli angoli ed perimetro
di un triangolo acutangolo.
Provare che risulta:
$ \displaystyle \frac{a^2+b^2}{\cos\gamma}+\frac{b^2+c^2}{\cos\alpha} +\frac{c^2+a^2}{\cos\beta} > P^2 $

Usiamo il teorema di Carnot e riscriviamo l'quazione
$ \displaystyle \frac{c^2+2ab\cos\gamma}{\cos\gamma}+\frac{a^2+2bc\cos\alpha}{\cos\alpha} +\frac{b^2+2ac\cos\beta}{\cos\beta} > (a+b+c)^2 $
spezziamo le frazioni, semplifichiamo e svolgiamo il quadrato a secondo membro
$ \displaystyle\frac{c^2}{\cos\gamma}+2ab+\frac{a^2}{\cos\alpha}+2bc+\frac{b^2}{\cos\beta}+2ac>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc $$ +2ac $.
eliminiamo i doppi prodotti e otteniamo
$ \displaystyle\frac{a^2}{\cos\alpha}+\frac{b^2}{\cos\beta}+\frac{c^2}{\cos\gamma}>a^2+b^2+c^2 $
poichè in un tr. acutangolo $ \displaystyle 0\le \cos x<1 $

allora la tesi è sempre vera
Ciao
Edo