OliForum Matematico

siano $ \theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4 $ angoli tali che $ \displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq\theta_i\leq\frac{\pi}{2} $.Dimostrare che esiste un $ x\in\mathbb{R} $ che soddisfa le due disuguaglianze

$ \cos^2\theta_1 \cos^2\theta_2-(\sin^2\theta_1 \sin^2\theta_2-x)\geq 0 $
$ \cos^2\theta_3 \cos^2\theta_4-(\sin^2\theta_3 \sin^2\theta_4-x)\geq 0 $

se e solo se

$ \displaystyle \sum\limits_{i=1}^4\sin^2\theta_i\leq 2(1+\prod\limits_{i=1}^4\sin\theta_i+\prod\limits_{i=1}^4\cos\theta_i) $

ciao ciao

Francesco

ps non è difficile, abbastanza "straightforward"...aspettate tutti un pò prima di scrivere la soluzione.

Un tale $ x $ esiste sempre, per cui anche la secondo dovrebbe essere sempre verificata, ma ciònon avviene per $ \theta_1=\theta_2=\theta_3=-\theta_4=\frac{\pi}{2} $.
Abbiamo forse perso qualche condizione su $ x \in \mathbb{R} $ per strada?

frengo ha scritto:aspettate tutti un pò prima di scrivere la soluzione.

Uhm, qualcosa mi lascia pensare che frengo con "un pò" non intendesse 3 anni