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Trovare tutti i numeri $ n\geq0 $ tali che esistono $ a,b\in\mathbb{Z} $ per cui

$ n^2=a+b $
$ n^3=a^2+b^2 $

ciao ciao
Francesco

frengo ha scritto:Trovare tutti i numeri $ n\geq0 $ tali che esistono $ a,b\in\mathbb{Z} $ per cui

$ n^2=a+b $
$ n^3=a^2+b^2 $

ciao ciao
Francesco

Allora...
Si ha che $ n=\frac{a^2+b^2}{a+b} $ ossia $ a+b | a^2+b^2 $, quindi $ a+b | (a+b)^2-2ab $ e perciò $ a+b|2ab $.
Siccome a+b decisamente non divide ne' a ne' b, può dividere 2a o 2b. Consideriamo per simmetria solo il primo caso.
Se $ a+b|2a $, allora $ 2a\geq a+b, a\geq b, b=a-c, (2a-c)|2a $. Adesso, o $ c \geq a $, ma questo è assurdo, oppure c=0. Quindi a=b.
Perciò il nostro problema originario diventa
$ n^2=2a $
$ n^3=2a^2 $
Da cui n=a, $ a^2=2a $, a=2 e n=2. O almeno io lo spero tanto .
Ciao a tutti!
Ops... $ a,b\in\mathbb{Z} $, non $ a,b\in\mathbb{N} $... ehm... va be', ci penserò .
Ah ecco: se wlog a<0, allora $ b > n^2 $ e perciò $ b^2 > n^4 > n^3 $ (a parte n=1, ma va be'...) poichè i quadrati sono positivi

Ah, anche n=0 = 0+0 e 1=1+0 sono validi...

Siccome a+b decisamente non divide ne' a ne' b, può dividere 2a o 2b.

Non sono molto convinto su questa affermazione...

Non può $ a+b $ dividere un pezzo dell'uno e un pezzo dell'altro ($ a $ e $ b $ non sono per forza primi...)?


Cmq posto la mia soluzione filosofica (nel senso che è stata fatta durante un'ora di filosofia ).

Caso $ a;b \not= 0 $

Allora abbiamo che:

$ (a^2+b^2)^2=(a+b)^3=n^6 $

Supponiamo, poiché non possono essere entrambi negativi, che $ a $ sia quello positivo (altrimenti il ragionamento è il simmetrico).

Fatti i dovuti contazzi, con sottofondo di Hegel, si ha:

$ b^4-b^3+a((2a-3)b^2-3ab+(a^3-a^2))=0 $

Dall'espressione precedente si ha (poiché $ b^4 > b^3 $):

$ (2a-3)b^2-3ab+(a^3-a^2) < 0 $

Ora questa è una parabola che è sempre positiva a meno che il suo $ \Delta $ sia maggiore di 0, ovvero quando:

$ 9a^2- 4(2a-3)(a^3-a^2)\geq 0 $

da cui:

$ - a^2(8a^2 - 20a + 3)\geq 0 $,

ovvero

$ 8a^2 - 20a + 3 \leq 0 $

e questo si ha solo se $ a=1 $ o se $ a=2 $.

Ora gli unici casi con $ b $ negativo che rimangono possibili sono quindi con $ b=-1 $ o se $ b=-2 $. Questi casi si escludono facilmente a mano.

Dunque anche $ b $ è positivo. E quindi possiamo fare lo stesso ragionamento anche su di lui.

Dunque le uniche soluzioni sono con $ a=1 $ o se $ a=2 $ e se $ b=1 $ o se $ b=2 $. Da cui come unica soluzione $ a=b=2 $.



Caso $ a;b = 0 $

Funziona!!!

Caso $ a\not= 0 $ e $ b = 0 $ (o viceversa):

Chiaramente l'unica soluzione è $ a = 1 $.



Riassumendo le soluzioni sono $ (0;0); (1;0); (0;1); (2;2) $.

Saluti e baci!

Sgopn

ecco anche la mia!

$ n^4=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=n^3+2ab $

quindi

$ n^4-n^3=2ab $

dalla disuguaglianza $ a^2+b^2\geq 2ab $ (valida per $ a,b $ interi relativi)
abbiamo

$ n^3\geq n^4-n^3 $
$ 2n^3\geq n^4 $
$ 2\geq n $

quindi $ n=0,1,2 $

$ n=0 \rightarrow a=0,b=0 $
$ n=1 \rightarrow a=1,b=0 $
$ n=2 \rightarrow a=2,b=2 $

ciao ciao