OliForum Matematico

[Beh, oltre ad essere ricreativo, è anche del buon sano e utile problem solving olimpico... Spostato. M.]

Questo è un vecchio problema di carattere ricreativo.Alcuni numeri interi (positivi) sono esprimibili come somme di numeri interi (positivi) consecutivi come ad esempio 7=3+4 oppure 14=2+3+4+5 mentre per un numero come 8 non funziona.Orbene l' esercizio chiede di trovare (con dimostrazione) tutti numeri (interi positivi) esprimibili come somme di numeri interi (positivi) consecutivi (nel senso visto sopra) e quelli non esprimibili in tal modo .

Funziona in tutti i numeri dispari perché ovviamente $ n={\frac{n-1}{2}+({\frac{n-1}{2}+1) $
Con i numeri pari funziona solo se hanno un fattore primo dispari: infatti se ad esempio $ 5|n $ allora $ n=({\frac{n}{5}-2)+({\frac{n}{5}-1)+({\frac{n}{5})+({\frac{n}{5}+1)+({\frac{n}{5}+2) $
In conclusione n può essere il risultato della somma di alcuni interi consecutivi solo se è divisibile per un numero dispari.

piever ha scritto:In conclusione n può essere il risultato della somma di alcuni interi consecutivi solo se è divisibile per un numero dispari.

Attento! Questo è un errore comunissimo. In verita hai dimostrato che se n ha un fattore dispari, allora è somma di consecutivi. Non hai però provato che se n non ha un fattore dispari, allora non è possibile scriverlo come somma di cinsecutivi.

Marco ha scritto:

piever ha scritto:In conclusione n può essere il risultato della somma di alcuni interi consecutivi solo se è divisibile per un numero dispari.

Attento! Questo è un errore comunissimo. In verita hai dimostrato che se n ha un fattore dispari, allora è somma di consecutivi. Non hai però provato che se n non ha un fattore dispari, allora non è possibile scriverlo come somma di consecutivi.

Beh sì, in effetti non ci avevo pensato. Comunque si dimostra facilmente: se n non è divisibile per un numero dispari, allora è una potenza di 2 e si può solo ipotizzare che sia composto da un numero pari di consecutivi. Ovviamente la media tra un numero pari di consecutivi equivale a 0,5 in modulo 1 quindi la media moltiplicata per 2 dà un numero dispari che però non può dividere una potenza di 2.

Scusatemi per le corbellerie precedentemente scritte.

Per forza di cose funziona almeno per i numeri del tipo $ \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} $... Poi bisognerebbe pensare a come individuare le somme di tutti i sottoinsiemi "consecutivi" del set $ (1, 2, 3...n) $ e sarebbe fatta, credo... Però per quest'ultimo punto non sono capace...

Per me la risposta è: tutti i numeri

Infatti 8 è la somma di "8", che si può considerare consecutivo visto che non abbiamo nessun altro numero con cui confrontarlo.

Poniamo n = la cardinalità di questo insieme di numeri consecutivi.
Escludiamo quindi n=1.

Ora risolvo il problema nel modo proposto da Ani-sama.
E' semplice continuare il tuo ragionamento: per ottenere un sottoinsiemedi numeri consecutivi da $ (1,2,3,...,b) $, magari a partire da a, basta togliere $ (1,2,3,...,a) $, con la solita formuletta.
Quindi la somma dei numeri $ (a,a+1,a+2,...,b) $ è $ \frac {b(b+1)}{2} - \frac {a(a-1)}{2} = \frac {b^2-a^2+b-a} {2} = \frac {(b-a)(a+b+1)} {2} = x $.

Ponendo b = a + k, si ottiene:
$ k(k + 2a + 1) = 2x $.
2a + 1 è un qualsiasi numero dispari. Chiamiamolo d.
Dobbiamo trovare tutti i numeri x tali che $ k(k+d) = 2x $.

Ragioniamo ora sui divisori: trovato un divisore k di 2x:
- se k è dispari, $ \frac {2x} {k} - k $ è dispari, e abbiamo trovato anche d.
- se k è pari, $ \frac {2x} {k} $ deve essere dispari affinchè anche $ \frac {2x} {k} - k = d $ sia dispari.

Quindi si escludono solo le potenze del 2.

Quindi si escludono solo le potenze del 2

Sei sicuro? (Voglio dire che tu hai dimostrato solo che vanno escluse le potenze del 2, ti manca la parte in cui mostri ,in due parole, come i numeri che non sono potenze del 2 vadano bene.)

herbrand ha scritto:

Quindi si escludono solo le potenze del 2

Sei sicuro? (Voglio dire che tu hai dimostrato solo che vanno escluse le potenze del 2, ti manca la parte in cui mostri ,in due parole, come i numeri che non sono potenze del 2 vadano bene.)

Quello lo ha dimostrato Piever prima

Sì ma piever ha fatto un esempio per il numero 5, edriv doveva solo continuare col suo approccio (suggeritogli da anisama) che è quello secondo me più adeguato

HO Sbagliato i conti.
(Anche nel compito di matematica ho messo $ \frac {1} {16} + \frac {1} {16} = \frac {1} {32} $... sono un disastro)

La somma dei numeri $ (a,a+1,a+2,...,b) $ è $ \frac {b(b+1)}{2} - \frac {a(a-1)}{2} = \frac {b^2-a^2+b+a} {2} = \frac {(a+b)(b-a+1)} {2} = x $.

Ponendo b = a + k, si ottiene:
$ (2a+k)(k+1) = 2x $.

Ora si nota che uno dei due fattori deve essere dispari.
Se k è pari, (k+1) è dispari.
Se k è dispari, (2a + k) è dispari.
Quindi 2x deve avere un divisore dispari.

Trovato il divisore dispari, come posso trovare a e b?
Sia l il divisore dispari (diverso da 1)
k = l-1, k è pari
a = $ \frac {\frac {2x} {k+1} - k } {2} $ . 2x/(k+1) è pari, se ci tolgo k resta pari, posso dividerlo per 2.
b = a + k

Esempio:
45
k = 5-1 = 4
a = (18 - 4) /2 = 7
b = 11

Infatti 45 = 7+8+9+10+11

E scusate per l'infame errore

herbrand ha scritto:Sì ma piever ha fatto un esempio per il numero 5

Non era un esempio per il numero 5, era la mia dimostrazione che se un numero ha un fattore primo dispari è scomponibile in consecutivi. Mi era sembrato evidente: se $ n $ non è potenza di 2, ha almeno un fattore primo dispari, scelgo il più piccolo e lo chiamo $ p $ e la media di un numero dispari di consecutivi è un intero. La media della somma è ovviamente $ {\frac{n}{p} $
Il problema è che non mi ero reso conto che gli interi consecutivi dovevano essere positivi, quindi con i numeri primi o con numeri tipo 22, la mia dimostrazione non funziona granché, grazie per avermelo fatto notare.