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Si prendano cinque punti distinti $ A,M,B,C,D $ in questo ordine su una circonferenza di centro $ O $, tali che $ MA=MB $. Siano $ P $ e $ Q $ rispettivamente i punti di intersezione di $ AC\cap MD $ e $ BD\cap MC $. Si prolunghi $ PQ $ fino a toccare $ X,Y $ sulla circonferenza, si provi che $ MX=MY $.

eccolo:

innanzitutto la tesi equivale a dimostrare che $ PQ//AB $.
visto che gli angoli $ M\widehat{D}B $ e $ M\widehat{C}A $ sono uguali (insistono su archi uguali) $ CDPQ $ è ciclico.
visto che $ PDCQ $ è ciclico, $ C\widehat{P}Q=C\widehat{D}Q $ perchè insistono sull'arco QC, ma avevamo $ C\widehat{D}Q=C\widehat{A}B $ perchè insistono siull'arco $ BC $ quindi per la proprietà transitiva $ C\widehat{P}Q=C\widehat{A}B $, che significa che $ PQ $ e $ AB $ sono paralleli.

ciao ciao

As usual, perfetto