OliForum Matematico

Esistono terne di interi positivi $ a,b,c $ tali che i 7 numeri $ a, b, c, -a+b+c, a-b+c, a+b-c, a+b+c $ formino una progressione aritmetica (presi in un qualche ordine)?

Fonte: INMO 2002

Cosa significa esattamente progressione aritmetica?

Significa che la differenza tra un termine e quello successivo è costante: 3,10,17,24,31,38,... è una progressione aritmetrica di ragione 7.

Dev'essere una sciocchezza, ma...
poichè nei 7 valori compaiono sia a che b che c, e quindi $ a\neq b \neq c $ possiamo prendere, a meno di permutazioni, $ a>b>c $
Perciò il valore più alto è a+b+c, il secondo a+(b-c), in quanto (b-c)>0 per ipotesi, e tale valore è perciò maggiore di a,b,c, e delle altre combinazioni.
Da ciò si ottiene che la ragione è 2c $ r=(a+b+c)-(a+b-c)=2c $, perciò a=5c, b=3c, c=c (ma dai!). Tuttavia, sostituendo questi valori si ha che
a+b+c=9c
-a+b+c=-c
a-b+c=3c
a+b-c=7c
a=5c
b=3c
c=c

In cui compaiono due valori uguali, perciò *dovrebbe* essere impossibile. Però mi sembra troppo facile

darkcrystal ha scritto:perciò $ a=5c, b=3c $

Questo perché, scusa? Come sai che $ a,b,c $ sono consecutivi nella progressione?

Si, me ne sono reso conto stamattina... le 11.17 non sono un bell'orario per fare i problemi...
Ritento, ma mi sa che sia ancora peggio, questa.

Parte 1 - chi è il più piccolo
allora... a>b>c; (-a+b)<0, perciò (-a+b)+c<c<b<a
Inoltre (a-b)>(b-a) perciò (a-b)+c>(-a+b)+c
Poi a+b+c>-a+b+c, e infine a+b-c>a>(-a+b)+c
Perciò il più piccolo è (-a+b)+c

Allora: a+b+c è il più grande, mentre -a+b+c è il più piccolo, perciò $ a+b+c - (-a+b+c) = 2a $ dev'essere anche uguale a 12c, poichè ci sono 7 termini (e quindi 6 volte si aggiunge la ragione) nella progressione. Percià a=6c.
Otteniamo che $ a+b+c=7c+b $, e $ a+b+c-a=b+c $ deve essere multiplo di 2c. Perciò b può valere:
1) c, ma questo è in contrasto con quanto detto prima (b>c)
2) 3c, assurdo perchè nella progressione compare 6c, e la progressione ha ragione 2c
3) 5c, assurdo perchè nella progressione compare 6c, e la progressione ha ragione 2c
4) valori maggiori, assurdo perchè sarebbe b>a
In conclusione, rimane impossibile
Tenendo conto che mi sono svegliato ben dieci minuti fa,
Davide
Ciao!

Ok, perfetto.
Comunque, una volta scoperto che $ a=6c $ e che $ r=2c $, essendoci nella progressione aritmetica sia $ a $ che $ c $, necessariamente $ 2c|a-c=5c $, assurdo.

Senti... ero ancora nei fumi del sonno, già da ringraziare di non aver scritto sciocchezze
Ciao!

Lol, ,ok, ciao!

Vi propongo una soluzione alternativa (sperando che sia giusta, non si sa mai!)

Supponiamo per assurdo che esista una progressione aritmetica siffatta, e chiamiamo n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7 i sette termini della progressione, imponendo che n1 < n2 < n3 < n4 < n5 < n6 < n7.

Si ha innanzitutto che (a+b+c) è il più grande tra i termini, ed è quindi uguale ad n7. Inoltre, posto n4 = k e la ragione d, si ha che:

n1 = k – 3d
n2 = k – 2d
n3 = k – d
n4 = k
n5 = k + d
n6 = k + 2d
n7 = k + 3d

È facile notare da ciò che la media aritmetica di tutti gli ni è pari a n4.

Ma la media aritmetica è la somma dei sette termini diviso sette, che è pari a (3/7)*(a+b+c), cioè (3/7)* n7. Se ne deduce praticamente immediatamente che 3d = (4/7)* n7, ergo d = (4/21)* n7.

Si possono quindi scrivere tutti gli ni in funzione di n7:

n1 = -3*(n7/21)
n2 = 1*(n7/21)
n3 = 5*(n7/21)
n4 = 9*(n7/21)
n5 = 13*(n7/21)
n6 = 17*(n7/21)
n7 = 21*(n7/21)

Ora, poiché n7 = a+b+c, deve poter essere scritto come somma di tre numeri tra n1 e n6. Si ha quindi:

n7 = ni + nj + nk

e, posto:

ni = (4x+1)*(n7/21)
nj = (4y+1)*(n7/21)
nk = (4z+1)*(n7/21)

(si noti che tutti i coefficienti nella lista degli ni sono congrui a 1 modulo 4, pertanto questa scrittura è corretta)

21*(n7/21) = (4x+1)*(n7/21) + (4y+1)*(n7/21) + (4z+1)*(n7/21)
21*(n7/21) = (4x+4y+4z+3)* (n7/21)
21 = 4x+4y+4z+3
4x+4y+4z = 18
4(x+y+z) = 18

che ovviamente non può avere soluzioni intere, poichè 4 non divide 18.

In altre parole, tutti i coefficienti sono congrui a 1 modulo 4, e pertanto la somma di tre di essi è congrua a 3 modulo 4; dunque nessuno di essi può essere scritto come somma di tre di essi.

Dunque non è possibile trovare x,y,z interi, ergo non è possibile trovare ni nj ed nk, cioè n7 non è somma di tre dei termini della progressione, il che è assurdo, in quanto contrasta con l’ipotesi iniziale.

Per cui una siffatta progressione non può esistere.

p.s. scusate se non ho messo i pedici per gli indici ma sono di fretta... spero si capisca lo stesso