OliForum Matematico

Sia $ ABCD $ un quadrilatero convesso con $ \angle CBD = 2 \angle ADB $ e $ \angle ABD = 2 \angle CDB $ e $ AB = CB $. Si provi che $ AD = CD $

Uhm... Sei sicuro Boll? A me sembra che sia vero solo se $ \angle ABD = \angle DBA $

Di solito i problemi non li invento, e mi pare che non ci siano errori di trascrizione
Eccoti la pagina della gara, problema 4

Allora
sia $ BE $ la bisettrice di $ \angle DBC $
sia $ BF $ la bisettrice di $ \angle DBA $
chiamiamo $ \alpha =\angle CBE=\angle EBD =\angle BDA $
chiamiamo $ \beta =\angle ABF=\angle FBD =\angle BDC $
il quadrilatero $ BFDE $ è un parallelogramma ($ \beta $ e $ \alpha $ alterni interni rispetto a $ BD $)
Per il teorema della bisettrice avremo che $ \displaystyle\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{FA} $ e che$ \displaystyle\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{EC} $
poichè $ AB=BC $per hyp., allora $ \displaystyle\frac{DF}{FA}=\frac{DE}{EC} $ ossia $ \displaystyle\frac{DF}{DE}=\frac{FA}{EC} $
avendo dimostrato prima che $ BFDE $ è un parallelogramma, sappiamo che $ \displaystyle\frac{DF}{DE}=\frac{BE}{BF} $.
Quindi $ \displaystyle\frac{AF}{CE}=\frac{BE}{BF} $. Dunque i triangoli
$ BCE $ e $ BAF $ sono simili : infatti $ \angle BEC=\angle BFA =\alpha+\beta $ e i due lati adiacenti all'angolo sono in proporzione. Poichè $ CB=BA $ allora i due triangoli sono anche congruenti. Da ciò si ha $ \alpha =\beta $, quindi i triangoli $ BCD $ e $ BDA $ sono congruenti (tutti gli angoli uguali e un lato in comune) e quindi $ CD=AD $.
Ciao
Edo