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Visto che vanno tanto di moda i problemi stranieri...

Dato un quadrilatero $ ABCD $ e un punto $ M $ che varia all'interno di $ AB $, chiamiamo $ N $ l'ulteriore intersezione dei due circocerchi di $ ADM $ e $ BCM $.

(i) Dimostrare che $ N $ si trova su una circonferenza fissata
(ii) Dimostrare che $ MN $ ha un punto fisso al variare di $ M $

i) Dimostro che N sta sulla circonferenza circoscritta a
$ CDH $, dove H è l'intersezione delle rette AD e BC (se sono parallele degenera in una retta).
Dato che il quadrilatero $ AMND $ è ciclico, $ \angle DNM = 180 - \angle BAD= \angle BAH $. Allo stesso modo, $ \angle CNH= \angle ABH $.
Dunque $ \angle DNC= \angle HAB + \angle HBA= 180 - \angle AHB $, che è condizione di ciclicità.

ii) Dimostro che si incontrano nel punto di itersezione P tra la corconferenza intorno a $ CNDH $ e la parallela ad AB passante per H.
Ho già detto sopra che $ \angle DNM=\angle HAB $; dimostro anche che$ \angle DNP= \angle HAB $, cosi' ho dimostrato la tesi. Dato che AB è parallelo a PH per costruzione, $ \angle BAH=\angle DHP $ (angoli alterni interni). Dato che P, H, N, D stanno sulla stessa circonferenza, si ha: $ \angle DNP=\angle DHP=\angle DNM $, da cui la tesi.

Ciao!
Maria