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Trovare tutte le soluzioni intere di

$ a^3+2b^3=4c^3 $

Discesa infinità?

Nun ce stanno (a parte la banale, o triviale, o straight forward che dir si voglia, (0; 0; 0)...)

Infatti chiaramente o $ a; b; c = 0 $ o $ a; b; c \not= 0 $, in quanto non esiste alcun cubo che sia il doppio o il quadruplo di un altro.

Notiamo che $ a $ deve essere pari e quindi abbiamo $ a=2a' $ da cui l'equazione diventa:

$ 4{a'}^3 + b^3 = 2 c^3 $.

Ora noto che $ b $ deve essere pari e quindi abbiamo $ b=2b' $ da cui l'equazione diventa:

$ 2{a'}^3 + 4{b'}^3 = c^3 $.

Ora noto che $ c $ deve essere pari e quindi abbiamo $ c=2c' $ da cui l'equazione diventa:

$ {a'}^3 + 2{b'}^3 = 4{c'}^3 $.

Che è uguale a quella di partenza... e di conseguenza.... posso applicare il principio di discesa infinita.
N. B. Guardi bene questa soluzione chi non conoscesse il principio della discesa infinita, e chi non capisca chieda...

Poichè i numeri sono interi non possono ridurre all'infinito il loro valore assoluto, posso infatti reiterare il procedimento e dire che $ a'=2a''; b'=2b''; c'=2c'' $ e così via. Di conseguenza l'espressione costituisce un assurdo e non può essere verificata.

Utile esercizio (e ancora + facile di questo) per imparare a usare il principio della discesa infinita è dimostrare che $ \sqrt 2 $ è irrazionale.

Saluti e baci.

Ok io invece ho fatto in questa maniera, ditemi se è giusto.
Supponiamo che esista una terna di interi $ (a. b. c) $ soluzione dell'equazione tale che:
$ max(a, b, c)>0 $
dove l'elemento massimo è il più piccolo possibile.
Notiamo che $ a $ deve essere pari in quanto differenza di numeri pari. Quindi possiamo porre $ a=2a^' $. Quindi la nostra equazione diventa:
$ 8a'^3 +2b^3=4c^3 $ e cioè $ 4a'^3+b^3=2c^3 $.
Ora ci accorgiamo che anche $ b $ deve essere pari, quindi $ b=2b^' $;
$ 4a'^3+8b'^3=2c^3 $ e cioè $ 2a'^3+4b'^3=c^3 $.
Ergo possiamo porre $ c=2c^' $ quindi $ 2a'^3+4b'^3=8c'^3 $ e cioè $ a'^3+2b'^3=4c'^3 $
Ma osserviamo che in ogni caso $ max(a', b', c')<max(a, b, c) $ e ciò va contro la nostra ipotesi iniziale.
Che ne dite?

Va bè alla fine credo di aver utilizzato indirettamente questo teorema della discesa infinita, anche se non lo conoscevo.
Comunque mi sembra quasi un derivato del principio di induzione o sbaglio?

giuseppe87x ha scritto:Va bè alla fine credo di aver utilizzato indirettamente questo teorema della discesa infinita, anche se non lo conoscevo.
Comunque mi sembra quasi un derivato del principio di induzione o sbaglio?

Derivato non mi par giusto... Direi equivalente