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Ecco 3 esercizi di applicazione del Teorema di van der Waerden, in ordine crescente di difficoltà.

1) Fissato un intero $ r $, ogni successione di interi $ \{a_i\} $, con $ 0<a_{i+1}-a_i\leq r $ contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe.

2) Coloriamo i punti di una circonferenza con un numero finito di colori. Allora esistono infiniti (più che numerabili) triangoli isosceli ad essa inscritti, ognuno dei quali ha tutti e tre i vertici dello stesso colore.

3) Fissato un reale $ x $, allora esistono numeri della forma $ n^2x $, con $ n $ intero, arbitrariamente vicini ad un intero.

Mind scrisse:

applicazione del Teorema di van der Waerden

nel punto 2 non sono convinto dell'applicabilità del teorema:
tu stesso hai dimostrato il TdvdW per induzione,Quindi vale in un insieme di card=alefh0,ma i punti sul cerchio e sottoinsiemi propri hanno card=alefh1.

Ma ci sono anche sottoinsiemi di cardinalità Aleph0.

goedelgauss ha scritto:Quindi vale in un insieme di card=alefh0,ma i punti sul cerchio e sottoinsiemi propri hanno card=alefh1.

ahi ahi, Goedel non sarebbe per nulla orgoglioso di te...

Beh, non c'è niente di male a prendere per buona l'ipotesi del continuo...
Un po' peggio è scrivere "alefh" invece di "aleph".
Il punto della questione è che esistono sottoinsiemi numerabili della circonferenza su cui si può applicare van der Waerden in modo efficace.

Suppongo che valga la seguente: $ a_i-a_{i-1} $ sia intero positivo.

1)Siano considerati i seguenti colori: $ C_0,\dots ,C_{r-1} $.
A meno di traslazione posso considerare gli $ a_i $ interi positivi.
Coloro i numeri interi positivi, opportunamente disposti in riga come segue: $ a_i $ di $ C_0 $.
Il numero appena alla sinistra di $ a_i $ di $ C_1 $.
..
I numeri j posizioni a sinistra di $ a_i $ di $ C_j $.
Così fino ad arrivare a raggiungere $ a_{i-1} $ (dove ripeterò da capo il processo).
In totale ho r colori che mi bastano per colorare tutti i numeri in quanto la distanza massima tra due elementi della successione $ a_i $ è r.

Per il teorema di van der Warden esiste sempre un N grande abbastanza da potere rintracciare nei numeri da 1 a N una progressione aritmetica monocromatica lunga n per qualsiasi n scelto.

So quindi che esiste un colore $ c_k $ tale che si abbia una progressione lunga n di numeri colorati di $ c_k $.
Sia $ B_i $ l’i-esimo numero di questa progressione aritmetica di colore $ c_k $.
Per come è definita la colorazione $ B_j+k $ appartiene alla successione $ a_i $.
Inoltre anche i numeri $ {B_1+k;B_2+k;\dots ;B_n+k} $ risultano essere in progressione aritmetica e ho quindi trovato la progressione aritmetica lunga n (con n grande a piacere) tra gli $ a_i $.

2) Ipotizzo di avere colorato i punti sella circonferenza di k colori.
Per il teorema di van der Wardern esiste N t.c. si possa rintracciare nei numeri da 1 a N una progressione aritmetica monocromatica lunga 3.
Considero sulla circonferenza i vertici di un N-agono regolare.
Scelgo un vertice che chiamo primo vertice.
Chiamo $ V_{1,1} $ il primo vertice, $ V_{1,2} $ il secondo (in senso orario),…, $ V_{1,i} $ l’i-esimo.
Per van der Warden (applicato agli indici dei vertici) esistono sicuramente 3 vertici dello stesso colore t.c. siano $ V_{1,j} $; $ V_{1,j+k} $; $ V_{1,j+2k} $ (ovvero t.c. gli indici siano in progressione aritmetica).
Ma questi 3 vertici costituiscono pure un triangolo isoscele in quanto dist($ V_{1,j} $; $ V_{1,j+k} $)= dist($ V_{1,j+k} $; $ V_{1,j+2k} $).
È inoltre facile verificare che sulla circonferenza posso scegliere infiniti N-agoni regolari ciascuno dei quali non abbia punti in comune con gli altri, quindi posso trovare infiniti triangoli isosceli.

Un semplice modo per trovare infiniti N-agoni regolari inscritti nella cfr è il seguente:

Definisco $ V_{2,1} $ come il punto di incontro tra la semiretta bisettrice tra il punto $ V_{1,1} $ e $ V_{1,2} $ e la circonferenza.
Per k>2:
Definisco $ V_{k,1} $ come il punto di incontro tra la semiretta bisettrice tra il punto $ V_{1,1} $ e $ V_{k-1,1} $ e la circonferenza.
In tal modo posso trovare infiniti N-agoni regolari inscritti nella cfr t.c. abbiano un vertice su $ V_{k,1} $ (e quindi gli altri N-1 sono univocamente determinati).

enomis_costa88 ha scritto:Suppongo che valga la seguente: $ a_i-a_{i-1} $ sia intero positivo.

Senza specificare nulla (tipo gli $ a_i $ sono tutti interi/interi positivi/naturali o $ a_i-a_{i-1} $ è intero positivo) posso costruire un controesempio al claim:
Sia $ a_n= 1-\frac{1}{2^n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^i}=a_{n-1}+\frac{1}{2^n} $

Claim: non esistono $ a_i $ > $ a_j $ > $ a_k $ t.c. $ a_i-a_j=a_j-a_k $.
Infatti è facile verificare le seguenti relazioni:
$ a_n $<1 e:
$ a_i-a_j < 1-a_j=a_j-a_{j-1}\leq a_j-a_k $ ovvero $ a_i-a_j <a_j-a_k $.

Sì perbacco, non avevo detto che nel problema 1 gli $ a_i $ sono interi! (ora ho corretto)
Mea culpa, e grazie a enomis per averlo scoperto!

(complimenti anche a enomis per aver risolto i primi 2 problemi, ora sotto con l'ultimo!!)