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Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi esattamente cosa sia una progressione aritmetica e a cosa serve, e dirmi un po' di definizioni a riguardo?

grazie

$ n $ numeri $ a_1 $, $ a_2 $, ..., $ a_n $ sono in progressione aritmetica se $ a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_{i+1}-a_i=\ldots =a_n-a_{n-1}=d $. $ d $ viene detto anche ragione della progressione aritmetica.
Ad esempio, i numeri 11, 14, 17, 20, 23 formano una progressione aritmetica lunga 5 e di ragione 3.

Definizione
Si chiama successione ogni $ f(x):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} $ con $ I\subset\mathbb{N} $ e $ I $ numerabile.

Definizione
Si chiama progressione aritmetica ogni successione numerica $ a_{1}, a_{2} $, ... , $ a_{n-1}, a_{n} $nella quale è costante la differenza tra ciascun termine, escluso il primo ($ a_{1} $), e il termine precedente. Tale costante è detta ragione della progressione e si indica solitamente con d.
Quindi $ a_{n}-a_{n-1}=d \ \ \forall\ n\in\mathbb{N}_{0}-\left\{1\right\} $

Sia $ a_{n} $ l'n-esimo termine di una progressione aritmetica
Allora $ a_{n}=a_{1}+(n-1)d $ dove d indica la ragione della progressione

Teorema
In una progressione aritmetica è costante la somme dei termini "equidistanti" dagli estremi. Tale progressione deve avere un numero finito di elementi.

Sia $ S_{n} $la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica. Allora $ S_{n}=n \frac{a_{n}+a_{1}}{2} $

Bisogna *dimostrare* quel teorema lì? Io ci provo... ricordando un po' il procedimento di Gauss (era proprio lui?) per la dimostrazione della somma dei primi $ n $ numeri consecutivi...

Ipotesi: la somma dei termini equidistanti dagli estremi è uguale in una progressione artimetica.

Tesi:$ \displaystyle S_n=n\frac{a_1+a_n}{2} $, dove $ S_n $ è la somma di tutti i termini della progressione aritmetica.

Dimostrazione: scrivo la nostra progressione due volte, così:

$ a_1, a_2, a_3... a_n $
$ a_n, a_{n-1}, a_{n-2}... a_1 $

Sommo termine a termine, ottenendo che:
$ 2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})...+(a_n+a_1) $. Ma i termini di questa somma sono tutti le somme dei termini equidistanti, e quindi sono tutti uguali alla somma degli estremi $ a_1+a_n $. Di queste somme ce n'è $ n $, quindi:
$ \displaystyle2S_n=n(a_1+a_n) $ e quindi che $ \displaystyle S_n=n\frac{a_1+a_n}{2} $

Ani-sama, direi che la tua ipotesi in realtà dovrebbe essere parte della tesi ... penso che il teorema possa essere meglio formulato come segue :

Sia $ a_1,\ldots,a_n $ una progressione aritemetica finita; allora :
1) la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante
2) la somma di tutti gli elementi della progressione è data dalla formula sopra detta.

Zok ha scritto:Definizione
Si chiama successione ogni $ f(x):\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} $ con $ I\subset\mathbb{N} $ e $ I $ numerabile.

E a che ti serve $ I $??

Premesso che $ I $ indica l'insieme di definizione di una funzione, se $ I $ non è numerabile non si tratta di una successione se si vuole essere rigorosi. Per esempio consideriamo $ f(x): \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} \ \ x\rightarrow\sqrt{4-x} $. Allora $ I=\left\{0,1,2,3,4\right\}\ \Rightarrow I $ non è numerabile. Quindi $ f $ non è una successione.

Zok ... scusa, ma guarda che :
1) non avevi detto chi fosse I ... non potevamo immaginarlo ... se vuoi dire "una funzione da I in R con I sottoinsieme di N", allora scrivi $ f:I\to\mathbb{R},\ I\subseteq\mathbb{N} $. La domanda di Mind non contestava l'utilità di I, chiedeva semplicemente chi fosse, visto che tu non l'avevi detto.
2) perchè hai dato la definizione di successione, visto che, come tu noti, questa è di solito una funzione definita su una parte infinita dei naturali? una progressione aritmetica finita non è una successione, stando a questa definizione, quindi, cosa c'entrano le successioni?

EvaristeG ha scritto:Ani-sama, direi che la tua ipotesi in realtà dovrebbe essere parte della tesi ... penso che il teorema possa essere meglio formulato come segue :

Sia $ a_1,\ldots,a_n $ una progressione aritemetica finita; allora :
1) la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante
2) la somma di tutti gli elementi della progressione è data dalla formula sopra detta.

Me lo aspettavo... comunque la dimostrazione della "mia ipotesi" mi sembrava abbastanza diretta, in più era un po' tardi, quindi avevo preferito tralasciare di scriverla...


Comunque sia, volendo dimostrare che la somma di due termini equidistanti dagli estremi è costante...

Scriviamo la nostra progressione due volte, così:

$ a_1, a_2, a_3... a_n $
$ a_n, a_{n-1}, a_{n-2}... a_1 $

Per la definizione di progressione aritmetica, possiamo scrivere la nostra progressione in questo modo:

$ a_1, (a_1+d), (a_1+2d)... (a_1+(n-1)d) $
$ a_n, (a_n-d), (a_n-2d)... (a_n-(n-1)d) $
dove $ d $ è la ragione della progressione.

Sommando ciascuno degli elementi incolonnati (che sono proprio gli elementi equidistanti dagli estremi), otterremo sempre $ a_1+a_n $, visto che il termine che ha $ d $ come coefficiente ($ d, 2d... (n-1)d $) si annulla sempre in ciascuna di queste somme...

Dovrebbe essere dimostrata anche l'"ipotesi" da cui partivo, adesso

Scusatemi per la mia imprecisione riguardo al punto 1 sottolineato da Evariste
Riguardo al punto 2: una progressione deve essere necessariamente finita?nei vari problemi si lavora sempre con un numero limitato di elementi della progressione ma questo non vieta che essa sia infinita no?

Infatti, non c'è nessun problema a che sia infinita ... sottolineavo solo che una progressione aritmetica non è sempre una successione, in quanto può ANCHE essere finita.

A questo punto, tanto per fare, parliamo pure di progressioni geometriche :

Definizione
Dati $ a_0,\ldots,a_n $ numeri reali, essi si dicono in progressione geometrica se $ $\frac{a_1}{a_0}=\frac{a_2}{a_1}=\ldots=\frac{a_n}{a_{n-1}}=r$ $
Tale numero $ r $ è detto ragione della progressione.

Cose utili

1) Il k-esimo termine della progressione è dato da $ a_k=r^ka_0 $.
2) La somma di $ n $ numeri reali che costituiscono una progressione geometrica di ragione $ r $ e elemento iniziale $ a_0 $ è data da $ $S=a_0\frac{1-r^{n}}{1-r}$ $