OliForum Matematico

Posto $ \alpha=arcsin \frac 3 5 $ e detto $ n $ un intero non negativo, dimostrare che i seni di $ n \alpha $ sono tutti diversi fra loro. Garantisco che esiste una soluzione elementare.

Nessuna risposta? Eppure la soluzione che ho trovato è abbastanza facile! Provo a dare un suggerimento: pensate anche a teoria dei numeri.

ci provo... arcsin(3/5) è irrazionale e (2*pi)/arcsin(3/5) è anch'esso irrazionale.
quindi non ci sono i*alfa che distino fra loro 2*pi o un suo multiplo.

poichè però sin(x) = sin((2n+1)*pi-x), resta ancora da dimostrare che non ci sono due i*alfa la cui somma sia un multiplo dispari di pi. supponiamo per assurdo che ce ne siano:

scriviamo quindi:

m*alfa + n*alfa = (2k+1)*pi

con m,n,k interi.

svolgendo otteniamo:

(m+n)*alfa = (2k+1)*pi

(m+n) = (2k+1)*(pi/alfa)

(m+n)/(2k+1) = pi/alfa

poichè (2*pi)/alfa è irrazionale lo è anche pi/alfa, quindi (m+n)/(2k+1) è irrazionale, ma ciò è assurdo, in quanto avevamo supposto m,n,k interi.

dunque non ci sono due i*alfa la cui somma sia un multiplo dispari di pi, e la tesi è dimostrata.

Un po' meno rigorosa di quella appena postata, forse:

Perché il seno di un angolo si "ripresenti", quell'angolo, in gradi, deve essere divisore di $ 180 $ (ovvio, un seno di un angolo può essere uguale al seno di un altro solo se i due angoli sono associati di $ 180 $). Ma siccome $ \arcsin {3/5} $ è irrazionale... e anche, di conseguenza, tutti gli $ n\alpha $ lo sono... la tesi è rapidamente dimostrata!

Detto in altro modo:

Siccome $ \alpha = \arcsin{3/5} $, allora $ \sin{\alpha}=3/5 $, e $ 30 <{\alpha} < 45 $ (la funzione seno è crescente). Prendendo $ n\alpha \leq 180 $, accade che:

$ n=1 $, $ 30 < \alpha < 45 $, ergo, perché $ \sin {n\alpha} $ non fosse unico, dovrebbe essere per forza $ \alpha=36 $ (cioè l'unico divisore di 180 in quell'intervallo), ma $ \arcsin{3/5} \neq 36 $;

$ n=2 $, $ 60 < 2\alpha < 90 $, in quest'intervallo non c'è alcun divisore;

$ n=3 $, $ 90 < 3\alpha < 135 $, idem come sopra;

$ n=4 $, $ 120 < 4\alpha < 180 $, come sopra.

Ecco tutto

sì però temo che tu non abbia considerato il fatto che due angoli hanno il seno uguale non solo se sommati danno 180 (in gradi sessagesimali), ma anche se sommati danno 540,900,1260... inoltre la funzione seno è periodica di 360, quindi due angoli hanno il seno uguale anche se distano 360,720,1080... indipendentemente dalla loro somma.

Ops... davo per scontato che si considerasse una sola periodicità... beh, il ragionamento penso possa valere comunque... un irrazionale non potrà mai dividere un qualsivoglia multiplo di 360, così come non divide 180...

afullo ha scritto:arcsin(3/5) è irrazionale e (2*pi)/arcsin(3/5) è anch'esso irrazionale.

E perché? So che è una affermazione comunemente diffusa, ma come si dimostra?
Analoga osservazione vale per il "siccome arcsin(3/5) è irrazionale" di Ani-sama. Ricordo inoltre a entrambi che in analisi l'unità di misura degli angoli non è il grado ma il radiante e che il rapporto fra due numeri irrazionali può essere razionale.
Ho posto proprio quella domanda agli esperti (vedi "rapporti goniometrici..." in "matematica non elementare") e fph mi ha consigliato di provare a dimostrarlo con formule di duplicazione, somma e simili; a risultato ottenuto, ho riproposto il quesito nella sua forma più semplice e più vicina al mio metodo di soluzione.

gianmaria ha scritto:

afullo ha scritto:arcsin(3/5) è irrazionale e (2*pi)/arcsin(3/5) è anch'esso irrazionale.

E perché? So che è una affermazione comunemente diffusa, ma come si dimostra?
Analoga osservazione vale per il "siccome arcsin(3/5) è irrazionale" di Ani-sama. Ricordo inoltre a entrambi che in analisi l'unità di misura degli angoli non è il grado ma il radiante e che il rapporto fra due numeri irrazionali può essere razionale.
Ho posto proprio quella domanda agli esperti (vedi "rapporti goniometrici..." in "matematica non elementare") e fph mi ha consigliato di provare a dimostrarlo con formule di duplicazione, somma e simili; a risultato ottenuto, ho riproposto il quesito nella sua forma più semplice e più vicina al mio metodo di soluzione.

in effetti io l'ho assunto senza dimostrarlo rigorosamente

gianmaria ha scritto: Ho posto proprio quella domanda agli esperti (vedi "rapporti goniometrici..." in "matematica non elementare") e fph mi ha consigliato di provare a dimostrarlo con...

Wow, sono un esperto

afullo ha scritto:in effetti io l'ho assunto senza dimostrarlo rigorosamente

E io, vedendo che tu l'avevi assunto senza dimostrarlo, credevo fosse cosa ovvia e provatissima...

Per dimostrare che non mentivo, mando la mia soluzione
Per n = 0, il seno vale 0. Per n = 1 si ha $ sin \alpha=\frac 3 5 $ e $ cos \alpha=\sqrt{1-(\frac 3 5)^2}=\frac 4 5 $ . Gli altri valori di seno e coseno possono essere calcolati partendo dal valore di n precedente con le formule di somma, che nel nostro caso diventano
$ \sin n \alpha=\frac 3 5 cos (n-1) \alpha + \frac 4 5 sin (n-1) \alpha $
$ \cos n \alpha=\frac 4 5 cos (n-1) \alpha - \frac 3 5 sin (n-1) \alpha $
Calcolandoli per i primi valori di n, si nota subito (e si dimostra facilmente per ricorrenza) che seno e coseno di $ n \alpha $sono frazioni aventi a denominatore $ 5^n $ e i cui numeratori indicheremo con $ s_n $ e $ c_n $ . Affinché due seni siano uguali, è necessario che la frazione con il denominatore maggiore si semplifichi, dividendo anche il numeratore per una potenza di 5: ci proponiamo di dimostrare che questo è impossibile perché nessuna $ s_n $ è divisibile per 5 (e quindi anche nessuna $ s_n $ vale 0).
Dalle predette formule di somma ricaviamo
$ s_n=3 c_{n-1}+4 s_{n-1} $
$ c_n=4 c_{n-1}-3 s_{n-1} $
Eliminiamo inizialmente le $ c_k $ in questo modo: dalla prima equazione ricaviamo $ c_{n-1} $ ; aumentando n di una unità deduciamone anche $ c_n $ ; sostituiamo il tutto nella seconda equazione. A calcoli fatti, otteniamo
$ s_{n+1}=8 s_n -25 s_{n-1} $
che mostra chiaramente che ogni $ s_k $ (k>1) è divisibile per 5 se e solo se lo è quella immediatamente precedente; poiché non lo è $ s_1=3 $ , non lo sono neanche le altre.

POST SCRIPTA
1) Ma era davvero difficile?
2) La mia ultima equazione può essere trovata anche con un altro metodo, basato su una formula diversa da quelle di somma: chi sa trovarlo?
3) Enunciato e dimostrazione possono essere estesi a tutti gli angoli che hanno seno e coseno razionali e non nulli.