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Salve,
non mi è molto chiaro quando devo inserire il valore assoluto nelle moltiplicazioni tra radicali. La regola che mi è stata detta è: "Metto il valore assoluto quando ho l'indice pari e se l'esponenente da pari diventa dispari.

Ora prendiamo in considerazione questo esercizio:
$ \sqrt[4] {(a-1)}^6 * \sqrt[6] {(a+1)}^3 $

Ci sono due modi per risolverlo:
1)Semplificando subito gli indici di radice ottenendo:

$ \sqrt[2] {(a-1)}^3 * \sqrt[2] {(a+1)}^1 $

$ \sqrt[2] {|a-1|}^3 * \sqrt[2] {(a+1)} $

Passando da un esponente pari (6) a uno dispari (3) metti quindi il valore assoluto. Ora porto fuori |a-1| che quindi mantiene il valore assoluto.

$ {|a-1|} \sqrt[2] {|a-1|} \sqrt[2] {(a+1)} $

2)Secondo modo: non semplifico e faccio il minimo comune indice:

$ \sqrt[4] {(a-1)}^6 * \sqrt[6] {(a+1)}^3 $

$ \sqrt[12] {(a-1)}^18 * \sqrt[12] {(a+1)}^6 $

Ora semplificando l'indice di radice per 6 (12-->2) e gli esponenti (18-->3 e 6-->1) ottengo

$ \sqrt[2] {(a-1)}^3 * \sqrt[2] {(a+1)}^1 $

Quindi seconda la regola (a-1) passa da esponente pari (18 ) a dispari (3). Allora stesso modo anche (a+1) passa da esponente pari (6) a esponente dispari (1). Quindi secondo la regola entrambi dovrebbero avere valore assoluto.

$ \sqrt[2] {|a-1|}^3 * \sqrt[2] {|a+1|}^1 $

Portando fuori a-1 ottengo:

$ {|a-1|} \sqrt[2] {|a-1|} \sqrt[2] {|a+1|} $


Viene a+1 con il valore assoluto mentre nell'altro modo no. Come mai?? Forse perchè a+1 nel testo all'inizio è elevato alla terza?.
Sinceramente io non ho capito quando il valore assoluto ci va o no, seguo semplicemente la regola "ci va quando ho l'indice pari e se l'esponente da pari diventa dispari", potete darmi una mano a capire? Grazie.

valore assoluto ha scritto: $ \sqrt[4] {{(a-1)}^{6}} * \sqrt[6] {{(a+1)}^3} $

Ci sono due modi per risolverlo:
1)Semplificando subito gli indici di radice ottenendo:

$ \sqrt[2] {(a-1)}^3 * \sqrt[2] {(a+1)}^1 $

$ \sqrt[2] {|a-1|}^3 * \sqrt[2] {(a+1)} $

Passando da un esponente pari (6) a uno dispari (3) metti quindi il valore assoluto.

premetto di non essere certo il più esperto in materia, ma provo a darti qualche spiegazione...
La necessità di porre il valore assoluto, deriva dal fatto che l'argomento di una radice deve, nel campo dei numeri reali, avere sempre il segno + davanti se l'indice della radice è pari. Nel tuo caso, $ \sqrt[4] {{(a-1)}^{6}} $ non ha problemi poichè $ {(a-1)}^6 \geq 0 \quad \forall a \in \mathbb{R} $. Quando tuttavia semplifichi l'esponente dell'argomento con l'indice, l'esponente può diventare dispari. Ma se questo succede, tu non hai più la sicurezza che l'argomento sia positivo, piochè $ (a-1) $ può essere sia positivo che negativo. L'esponente di prima era pari, quindi non si avevano problemi di segno, ma un esponente dispari quale 3 conserva il segno della base. La semplificazione che hai fatto, mettendo il valore assoluto, è quindi corretta.
Il secondo termine è $ \sqrt[6] {{(a+1)}^3} $ L'argomento potrebbe in questo caso avere segno più o segno meno, poichè l'esponente 3 conserva il segno della base, $ (a+1) $. Ma se il testo dell'esercizio pone la tua quantità sotto una radice di indice pari, implicitamente ne determina la positività, altrimenti il tuo radicale non esisterebbe nei numeri reali! Anche in questo caso quindi la tua semplificazione è giusta.

valore assoluto ha scritto: Ora porto fuori |a-1| che quindi mantiene il valore assoluto.

$ {|a-1|} \sqrt[2] {|a-1|} \sqrt[2] {(a+1)} $

quando porti fuori $ (a-1) $, lo poni in valore assoluto poichè quando parliamo di radicali in $ \mathbb {R} $ sotto una radice di indice positivo, li prendiamo sempre positivi. Per farti un'esempio tangibile, è vero che $ \sqrt {4}= \pm 2 $, ma noi consideriamo solo la soluzione positiva, quindi 2. Quindi $ \sqrt{x^2}=|x| $

valore assoluto ha scritto: 2)Secondo modo: non semplifico e faccio il minimo comune indice:

$ \sqrt[4] {(a-1)}^6 * \sqrt[6] {(a+1)}^3 $

$ \sqrt[12] {(a-1)}^18 * \sqrt[12] {(a+1)}^6 $

Ora semplificando l'indice di radice per 6 (12-->2) e gli esponenti (18-->3 e 6-->1) ottengo

$ \sqrt[2] {(a-1)}^3 * \sqrt[2] {(a+1)}^1 $

Quindi seconda la regola (a-1) passa da esponente pari (18 ) a dispari (3). Allora stesso modo anche (a+1) passa da esponente pari (6) a esponente dispari (1). Quindi secondo la regola entrambi dovrebbero avere valore assoluto.

invece qua sbagli, il secondo termine non deve avere il valore assoluto, per quello che ti ho detto prima, ovvero: il fatto che il testo dell'esercizio ponga un argomento di esponente dispari sotto una radice di indice pari, implica che l'argomento sia positivo. Non ti serve dunque mettere il valore assoluto passando dall'esponente 6 all'esponente 1, perchè sei già sicuro della positività di $ (a+1) $. Spero di averti dato un piccolo aiuto almeno...

Provo a darti un misero aiuto intuitivo... Quando dentro alla radice hai una quantità che è per forza positiva, essa deve restare sempre positiva. Se dentro alla radice quadrata hai $ (a-1)^6 $ questa quantità è chiaramente sempre positiva o nulla; se semplifichi il 6 e diventa un 3, devi inserire il valore assoluto perchè altrimenti scrivendo $ (a-1)^3 $ potresti includere dei valori negativi.

[Lo so che la risposta di hydro è più corretta e per contenuti e per forma, ma volevo usare il latex per la prima volta ]