OliForum Matematico

... è combinatoria. La fonte è : il mio prof di matematica. Lo posto in questa sezione perchè non conosco la soluzione, anche se sono abbastanza convinto che ne esista una elementare.

Abbiamo un circuito elettrico fatto così:
- ci sono $ n $ segmenti (fili conduttori) paralleli di egual lunghezza posti l'uno sotto l'altro a una distanza di $ 1 cm $, in modo che tutte le estremità destre dei fili giacciano sulla perpendicolare a un qualsiasi filo passante per il suo estremo destro, e idem per gli estremi sinistri (che vuol dire, appunto "l'uno sotto l'altro" in modo più formale)

-L'estrmità sinistra del primo filo (quello più in alto) è collegata con l'estremità sinistra dell'ultimo (quello più in basso) con un altro filo in cui vi è un generatore.

-Chiamiamo i fili (dall'alto verso il basso), $ 1,2,3,...n-1,n $, e diciamo che l'estremità destra del $ j $-esimo filo e l'estremità destra dell' $ i $-esimo filo sono collegati a una lampadina.

-Per chiudere il circuito (e quindi far accendere la lampadina) abbiamo a disposizione $ n-2 $ fili ausiliari (segmenti): uno di 1 cm, uno di 2 cm, uno di 3 cm... e così via fino a quello di n-2 cm.
I fili "ausiliari" dovranno essere messi con le estremità su due fili "base" e perpendicolarmente a questi (cioè un "ausiliario" lungo k cm dovrà collegare due "base" che distano effettivamente k cm) , inoltre ogni filo ausiliario toccherà (e quindi metterà in contatto) solo 2 fili "base":quelli toccati dagli estremi dell'ausiliario, i fili "base" frapposti a questi due possiamo immaginare che passino sotto (o sopra) l'ausiiario.

Ora, la domanda è: per quali $ n $ è possibile, per qualsiasi scelta di $ i $ e $ j $ ( $ i\not=j $) utilizzare tutti i fili ausiliari in modo da far accendere la lampadina, e in modo che qualunque filo ausiliario si tolga, la lampadina si spegne?
e anche, al contrario, per quali $ i,j $ è possibile, per qualsiasi scelta di $ n $, chiudere il circuito, in modo che qualsiasi filo ausiliario si tolga il circuito risulti aperto?

Chiedo scusa per la descrizione lunga e forse un po' contorta, ma è un problema che spiegarlo senza disegno è un po' un casino...
Spero che qualcuno di voi possa darmi una mano a risolverlo.

Ciao
Edo

UP! Nessuna idea?
Se qualcuno potesse aiutarmi, glie ne sarei particolarmente grato, è un problema a cui tengo molto...

jim ha scritto:UP! Nessuna idea?
Se qualcuno potesse aiutarmi, glie ne sarei particolarmente grato, è un problema a cui tengo molto...

Scusa, sarò un po' duro di comprendonio, ma io non ho capito come sono disposti i fili: cosa vuol dire destra - sinistra ? è vero che siamo in campagna elettorale ma

Azzardo: forse non risponde nessuno proprio per questo

ciao

Allora, vediamo un po'...
Nella mia visione del mondo (chissà se corrisponde alla realtà) un circuito si dice chiuso quando non ha estremità che "pendono". La lampadina è accesa se il circuito è chiuso. Considero che i>j ma scambiandoli non cambia nulla.
n=1 è impossibile per ipotesi, n =2 ha sempre le proprietà che dici, quindi considero solo n>2. In questo caso entrambe le proprietà sono vere con qualsiasi n e con qualsiasi i,j (???)
Infatti, se i-j<n-2, basta partire da quello fra i e j che sta più lontano da n (per esempio j) e collegarlo con tutte le estremità tra lui e n tranne i. Avanzano a cavi dove a=j-1
I cavi avanzati misurano n-2, n-3, n-4..., n-(j-1) e i-j. Si sceglie un punto k tale che k-1=n-2. Si collega k con 1 usando il segmento lungo n-2, poi si collega k con 2 usando il segmento n-3 e così via... Alla fine avanza un punto p tale che j-1=p e si collega con i-1 con il segmento lungo i-j. Se i-j=n-2 allora avanza un unico segmento (i-j) che unisce n con n-(i-j). Se i-j=n-1 allora si uniscono tutte le estremità pendenti con j.

ciao ciao