OliForum Matematico

Vi propongo questo (credo molto facile) problema, trovato su un vecchio testo di esercizi di analisi... se è un problema già fatto su questo forum, cancellate pure il topic! :

Dimostrare che se $ f(x) $ è una funzione pari, allora si ha:

$ \displaystyle \int_{-a}^a f(x)dx =2\int_0^a f(x)dx $.

Ciao!

essendo $ f(x) $ pari, si ha che $ f(x)=f(-x) $.

$ \displaystyle \int_{-a}^af(x)dx=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_{0}^af(x)dx=-\int_{0}^{-a}f(x)dx \quad+ $ $ \displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx $ [1]

ma $ f(x)=f(-x) $ $ \forall x $ t.c. $ 0<x\leq a $. allora avremo che $ \displaystyle -\int_{0}^{-a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx $ poichè cambiando il verso di integrazione dobbiamo cambiare il segno davanti all'integrale. Sostituendo nell'equazione [1], si ha la tesi.

Ok! La mia era parecchio più lunga, passavo per la dimostrazione che la primitiva di una funzione pari è dispari...