OliForum Matematico

Si prenda un triangolo acutangolo $ ABC $. Si prendano le tre circonferenze tali che:
i) hanno il centro su un lato
ii) sono tangenti agli altri due lati

Si denominino i loro raggi $ r_a,r_b,r_c $. Si provi che:
$ $ \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{2}{r} $

dove $ r $ al solito è l'inraggio

E'sufficiente completare il quadrilatero circoscritto alla circonferenza
avente il centro su BC e tangente agl altri due lati.Se $ r_a $ e'
l'inraggio di tale quadrilatero ,per una nota formula risulta[S=area(ABC)]:
$ \displaystyle r_a=\frac{2S}{b+c} $ ed analogamente per gli altri due lati.
Pertanto:
$ \displaystyle \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}=\frac{2a+2b+2c}{2S}=\frac{2}{r} $
Leandro

Esattamente la mia

ed ecco qui la mia(e molte altre)

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic ... 83#p466383

(la mia è quasi in fondo)

ciao ciao