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ciao

abbiamo uno spazio somma diretta di due sottospazi, $ V=W_1 \oplus W_2 $. Su questi sottospazi sono definite due forme bilineari simmetriche, rispettivamente $ g_1 $e $ g_2 $.
Se due vettori v,w di V li esprimiamo come somma di vettori di $ W_1 $ e $ W_2 $ ovvero $ v=v_1+v_2 $ e $ w=w_1+w_2 $ mostrare che esiste un'unica forma bilinare g tale che $ g(v,w)=g_1(v_1,w_1)+g_2(v_2,w_2) $

credo sia per l'unicità della somma di scalari ma non so come usarlo...

Beh, supponi che ce ne siano due (g() e h()).

La differenza di forme bilineari è bilineare. Costruisci una base di V giustapponendo una base di $ W_1 $ e $ W_2 $. La forma g-h vale zero su tutte le coppie di elementi della base. Quindi, per bilinearità, vale zero dappertutto. Ma allora g e h necessariamente devono coincidere.

L'esistenza penso che sia facile, e basta verificare che la definizione di g(v,w) è effettivamente bilineare.