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Dovrebbe essere immediato perchè è sul mio libro scolastico, ma al momento non mi viene . Si deve fare con la trigonometria.

Un quadrato ABCD ha lato $ l $. Al suo interno traccia l'arco di circonferenza AC, con centro nel punto D. Considera un punto T dell'arco e la tangente in quel punto, che incontra i lati del quadrato in P e Q. Determinare La lunghezza PQ in funzione dell'angolo ADT=2x.

Basta osservare che l'angolo QDT = x e l'angolo TDP = 45° - x.
Dai triangoli rettangoli DTQ e TDP si ottiene:

$ TQ=l\cdot tgx $ e $ TP=l\cdot tg(45°-x) $

Si ha perciò:

$ \displaystyle PQ=l\cdot\frac{1+tg^2x}{1+tgx} $

Mi ero accorto visivamente di PDT ma come si dimostra? ;_;

Non ho fatto il disegno, ma mi sembra che debba essre retto poiche l'angolo in considerazione è dato dalla tangente e dal raggio(è un arco in un quadrato) nel punto di intersezione della stessa con la circonferenza. In pratica un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.
Se vuoi la dimostarzione ìla postiamo nell'apposita sezione del forum