OliForum Matematico

Cortona '94:

Problema: si determino i numeri primi $ \displaystyle p $ per i quali $ \displaystyle \frac{2^{p-1}-1}{p} $ sia un quadrato perfetto.

Bye,
#Poliwhirl#

p-1=2h (a proposito, come si chiama quel divisore di p-1 minimo tale che sia il primo esponente d tale che $ \alpha^d\equiv 1 \mod p $ per qualche $ \alpha $ prefixed?)

$ \frac{(2^h-1)}{p}(2^h+1) $ con $ 2^h-1 $ e $ 2^h+1 $ ovviamente coprimi

per ogni quadrato n$ ^2 $ è vero che $ \sigma_0(n^2)\equiv1 \mod 2 $; per la moltiplicatività (non assoluta) dell'operazione $ \sigma_0 $ dovremmo avere che $ \sigma_0(\frac{2^{2h}-1}{p})=\sigma_0(\frac{a}{p})\cdot \sigma_0(b), $con $ a;b\in \{2^h^+_-1\} $ per cui ognuno dei due fattori deve essere dispari, quindi dovremmo avere due quadrati.
$ 2^h-1 $ non è mai un quadrato tranne che per h=1 (vedi congruenze $ \mod 4 $) ma p=2 non è accettabile, quindi possiamo considerare solo i casi in cui $ \frac{2^h-1}{p} $ e $ 2^h+1 $ sono entrambi quadrati in $ \mathbb{N} $; $ 2^h+1=t^2\to 2^h=(t+1)(t-1) $ quindi $ t-1|t+1 $ e sono entrambi potenze di 2 distanti 2, il che è possibile solo per t=3; ovvero h=3, cioè p=7; per p=7 infatti funonzia , e credo sia l'unico

anche per $ p=3 $ funziona!

Infatti Human Torch si trovava con h=1, ma ha sbagliato a considerare l'equazione p-1=2h, che con h=1 dava p=3, che funziona.

Buono il ragionamento con errore di calcolo. Quanto sarebbe stato valutato a Cesenatico?

HumanTorch ha scritto: $ 2^h-1 $ non è mai un quadrato tranne che per h=1 (vedi congruenze $ \mod 4 $)

In questo punto bisognava analizzare a parte il caso $ \displaystyle h=1 $ che usciva dalla generalizzazione a partire da qui... tutto il resto ok.

Bye,
#Poliwhirl#

Alex89 ha scritto:Infatti Human Torch si trovava con h=1, ma ha sbagliato a considerare l'equazione p-1=2h, che con h=1 dava p=3, che funziona.

Buono il ragionamento con errore di calcolo. Quanto sarebbe stato valutato a Cesenatico?

stesso errore fatto a febbraio, prima dimostrazione...ma sarò scemo?

Il ragionamento era buono, questi errori capitano a tutti...