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Su un sito internet ho trovato questo problema risolto: "dimostrare che l'equazione x^3+y^3+z^3=500 non ammette soluzioni intere" col suggerimento: esaminare i possibili resti di x^3 quando viene diviso per 9.
La soluzione dice: è facile verificare che i possibili resti di x^3 quando viene diviso per 9 sono 0,1 e 8. Esaminando tutte le possibili combinazioni si constata che x^3+y^3+z^3 non è congruo 5 (mod 9) mentre 500 è congruo 5 (mod 9). L'enunciato è così dimostrato.
Quello che non ho capito è perché devo esaminare i resti proprio per il numero 9.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

Purtroppo nelle diofantee ci si affida all'intuito... qui il solutore ha (ben) pensato che i resti di $ x^3 $ diviso per 9 sono ben pochi (solo 3), e quindi si possono provare rapidamente tutte le combinazioni.
Purtroppo non esiste un metodo standard

Spero di essere stato (minimamente) utile,
Ciao!

Ti ringrazio però non capisco perché dall'essere i termini divisibili o meno per 9 si deduca la risolubilità dell'equazione con numeri interi.
Se puoi spiegarmelo te ne sarò grato.
Grazie.
Ciao!

Un cubo perfetto, diviso per nove, può dare resto 0,1, o 8.
Se si provano tutte le combinazioni di tre valori (0+0+0,0+0+1...) si vedrà che nessuna di queste dà come somma 5: poichè però il resto di 500 diviso 9 è proprio 5, non si potrà mai avere una somma di cubi uguale a 500.
Se conosci i moduli pensala in termini di moduli: il membro destro è congruo a 5, il sinistro non lo può essere; poichè però quando si ha l'uguaglianza valgono automaticamente tutte le congruenze, dato che non vale la congruenza non può valere (tantomeno) l'uguaglianza.

Mi accorgo di aver fatto la solita confusione: casomai non capissi tenterò di spiegarmi meglio

Ciao!

Va bene così.
Grazie e ciao.