OliForum Matematico

Questo è davvero interessante, solo per veri appassionati:


Disegnare un quadrato e le sue diagonali. Siano A,B,C,D i vertici (in ordine) del quadrato e sia O il punto d'incontro delle diagonali.
Ogni segmento corrisponde a una resistenza $ r $ (in tutto sono otto, tutte uguali fra loro indipendentemente dalla lunghezza del segmento).

Determinare la resistenza equivalente $ R_{AC} $ tra i punti A e C (su una diagonale).

Determinare la resistenza equivalente $ R_{AB} $ tra i punti A e B (su un lato).



Nota: è severamente vietato usare metodi calcolosi, tipo sistemoni paurosi.... il bello è riuscire a farne a meno.

Nota secunda: solo per liceali.


Con questo tormenterò chiunque mi passi a tiro a Senigallia!

Premetto:

• Sfrutto le simmetrie.
• Procedo per ricorsione.
• La seconda parte serve per la soluzione della prima.

Comincio col secondo caso:

• AB è in parallelo al resto del circuito senza AB (chiamo R1).
• In R1, AD e' in parallelo al resto del circuito senza AD (chiamo R2) e in serie con DC ed il circuito senza DC... sta venendo fuori un casino.

Non riesco a spiegare bene oltre... cmq mi viene tipo 18/31 R tra A e B.
Ho dei dubbi sul modo in cui ho applicato la legge delle resistenze in serie e in parallelo pero', a Senigallia magari ti spiego meglio (se e' giusto).

bh3u4m ha scritto: La seconda parte serve per la soluzione della prima.

In R1, AD e' in parallelo al resto del circuito senza AD (chiamo R2) e in serie con DC ed il circuito senza DC... sta venendo fuori un casino.

A me torna un valore diverso, verificato anche al computer con un sistemone 8x8 risolto con le matrici.

La seconda parte non serve per fare la prima, anzi è più difficile.
Ho molti dubbi sul fatto che AD sia in parallelo come dici te, ricorda che devi sempre calcolare la res. tra A e B!

Ciao...

Con considerazioni elementari a me risulta questo:

$ R_{AC}=\frac{2}{3}R $

$ R_{AB}=\frac{8}{15}R $

è giusto?

BMcKmas ha scritto: $ R_{AC}=\frac{2}{3}R $

Questo dev'essere giusto se ci fosse un circuito in piu' di resistenza R da B a D... in quel modo B, O e D sarebbero allo stesso potenziale quindi non scorrerebbe energia in BO e in DO. Non so in questo caso pero', credo che O sia a potenziale diverso rispetto a B e D.

Penso che la soluzione sarebbe trovare il potenziale in B=D ed in O.

Ok... e' giusta la tua BMcKmas... col sistemone viene... solo che bisogna dimostrare che il potenziale in O e' lo stesso di quello in B e in D.

bh3u4m ha scritto:Ok... e' giusta la tua BMcKmas... col sistemone viene... solo che bisogna dimostrare che il potenziale in O e' lo stesso di quello in B e in D.

Mah... basta considerare la simmetria e ricordarsi che in un circuito lineare la soluzione è unica. Per cui se quella trovata rispetta le condizioni di continuità ai nodi e le cadute di tensione sui lati è la soluzione...

Confermo i vostri risultati. Io c'ero arrivato con un altro ragionamento ganzo...

@bmckmas: è vero che la sol. è unica, ma come hai fatto a trovarla la prima volta per dopo poter verificare? Mica avrai usato un sistemone?

Hint segretissimo:[size=7]ponte di Wheatstone (credo si scriva così...)[/size]

Anche a me esce $ R_{AC}=\frac{2}{3}r $, quell'altra la devo ancora calcolare. Non credo di aver utilizzato sistemoni: mi sono limitato a ridisegnare il circuito tenendo conto delle simmetrie riscontrate e a mostrare (con un paio di semplici conti) che in OB e OD non scorreva corrente. Il resto viene da sè....

Bacco ha scritto:Confermo i vostri risultati. Io c'ero arrivato con un altro ragionamento ganzo...

@bmckmas: è vero che la sol. è unica, ma come hai fatto a trovarla la prima volta per dopo poter verificare? Mica avrai usato un sistemone?

Hint segretissimo:ponte di Wheatstone (credo si scriva così...)

No, ho ragionato così:
tra A e C si vedono chiaramente tre percorsi in parallelo diretti tra loro uguali, ognuno composto da due resistenze uguali in serie. Ipotizzo che la corrente si ripartisca uniformemente sui tre percorsi (questo rispetta la simmetria e la continuità della corrente sui nodi). A questo punto verifico immediatamente che i punti B O e D hanno lo stesso potenziale e quindi nell'altra diagonale non circola corrente, come avevo ipotizzato all'inizio.

OK?

Per il secondo punto io ho ragionato così: ci sono tre paralleli, il primo con una sola resistenza, il secondo con due resistenze in serie e il terzo con una resistenza in serie con un parallelo fatto dal lato superiore e due rami delle due diagonali e questo in serie con l'ultima resistenza. Se si calcola così si ottiene1/Rtot=1/R+1/2R+3/8R=15/8R perciò esce Rtot=(8/15) R
Però non sono convinto che sia giusto perchè è come se ho considerato un circuito diverso dove il centro O non è in comune ai due rami delle diagonali ma essi sono staccati....

Il tuo dubbio è legittimo, però vale sempre l'unicità della soluzione e non è difficile verificare a posteriori che quei due punti hanno lo stesso potenziale e quindi che siano connessi o staccati è lo stesso

ciao

@bmckmas: tecnicamente è ineccepibile, ma come metodo mi piace poco vedere la sol. a occhio e poi controllare che ho azzeccato.

@diego: stesso discorso, fai un'ipotesi a occhio e vedi che in realtà è quella giusta.

Per il secondo io ho fatto così: collego il centro con il punto a metà della resistenza sul lato CD, e poi riduco tutto a un ponte di Wheatstone. Così mi sembra ineccepibile...

[quote="Bacco"]
@bmckmas: tecnicamente è ineccepibile, ma come metodo mi piace poco vedere la sol. a occhio e poi controllare che ho azzeccato.
[\quote]

Ammetto che il metodo non sia bellissimo, perchè non generalizzabile, tuttavia è molto usato in fisica-matematica per risolvere problemi di cui è noto che la soluzione esiste ed è unica: mi sembra che si chiami metodo semi-inverso.
Inoltre ti faccio notare che espedienti di questo tipo sono di fatto l'unica vera alternativa a quello così detto del sistemone (che concettualmente non è per niente difficile, è solo tedioso se si deve risoverlo a mano).
Anche il tuo procedimento basato sul ponte di Wheatstone non è ovviamente generale e ha molti aspetti in comune con la tecnica semi-inversa, infatti sfrutta la conoscenza del ponte che equivale a conoscere proprietà particolari del sistemone....

ciao

Però non sono convinto che sia giusto perchè è come se ho considerato un circuito diverso dove il centro O non è in comune ai due rami delle diagonali ma essi sono staccati....

Mi sono posto anch'io il tuo stesso problema, ma facendo un po' di conti con le correnti si può facilmente mostrare che effettivamente le maglie ABO e ODC possono considerarsi "separate" (la corrente che scorre in una non arriva all'altra passando per O). La resistenza equivalente tra A e B anche a me quindi risulta $ \frac{8}{15}r $