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Siano $ 0\le a,b,c\le 1 $.
Si provi che $ a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1 $

Dubbio: è sufficente che f (definita su di un cubo) sia convessa in ogni sua variabile perchè abbia massimo in un vertice del cubo (o più in generale in un punto estremale dello spazio convesso nel quale è definita)?
In una soluzione sull'Engel (pag 200) si dice :"f is defined and continuous on the closed cube, and it is convex in any of its variables. Thus assumes its maximum at one of its vertices"
invece sul Gobbino si richiede (come sufficente) la stretta convessità di f (non solo la convessità in ogni variabile).
Spero che qualcuno mi chiarisca presto le idee

Sia $ f(a,b,c)=a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) $
La th è $ f(a,b,c)\leq 1 $ con f definita in uno spazio convesso (un cubo per la precisione).
F è convessa in ogni sua variabile (derivate pure) quindi f assume massimo in un vertice del cubo ovvero in uno dei seguenti:
(0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1) ( 0,1,0) (0,0,1) (1,0,1) (0,1,1)
e si verifica a mano che il massimo è 1.

Buon pomeriggio, Simone.

$ (1,0,c) $ non sta sul bordo e solve. Come la mettiamo enomis?

Di questo problema ci sono almeno tre soluzioni: una stupenda (di Morandin), una brutalissima (la mia), una semibrutale ma intelligente che dovreste trovare dopo la mia affermazione sopra (di Boa). Sarebbe consigliabile trovare la prima, che è l'unica senza derivate.

Siano $ 0\le a,b,c\le 1 $.
Si provi che $ a^2+b^2+c^2\le a^2b+b^2c+c^2a+1 $

ricondursi a schur nel caso in cui l'esponente sia 3?

WLOG sia $ a $ il massimo. (ricordiamo che se una disequazione è simmetrica possiamo ordinare le variabili come vogliamo. Se è ciclica (come in questo caso) non possiamo fare lo stesso ma possiamo porre che una variabile sia massima).

La nostra disequazione equivale a:

$ (1-a)(1-c^2)+b^2c+a(1-b)(1-a)+b(a-b) \geq 0 $

che è ovviamente positiva.

Q.E.D.

OK, solita eleganza, Simo

Comunque il "vecchio" Morandin ti ha battuto:

$ a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a)\le a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) $$ =(a-1)(b-1)(c-1)-abc+1\le 1 $

L'ultimo possaggio poichè $ (a-1)(b-1)(c-1) $ è il prod di tre negativi, quindi negativo e $ -abc $ è negativo