OliForum Matematico

Vi ricordate il bellissimo problema di
<BR>
<BR>a^3 + b^3 + c^3 - 8abc
<BR>con a,b,c naturali
<BR>
<BR>che si annulla solo per a=b=c=0?
<BR>Finalmente l\'ho risolto!
<BR>allora..
<BR>
<BR>guardando un po\' di valori di f(a,b,c) per a b c a piacere sembra che vengano fuori solo valori negativi E.G. a=b=c=1 f(a,b,c)= -5
<BR>viene quindi il sospetto che f(a,b,c)=0
<BR>sia un punto di massimo della funzione
<BR>
<BR>Calcoliamo le derivate prime parziali rispetto alle singole variabili:
<BR>
<BR>f\'a(a,b,c)=3a^2 - 8bc
<BR>f\'b(a,b,c)=3b^2 - 8ac
<BR>f\'c(a,b,c)=3c^2 - 8ab
<BR>
<BR>Il sistema seguente da\' i punti critici della funzione:
<BR>
<BR>| f\'a=0
<BR>| f\'b=0
<BR>| f\'c =0
<BR>
<BR>risolviamo una equazione a piacere delle tre (tanto sono simmetriche)
<BR>
<BR>3a^2 = 8bc ==> a=8k
<BR>3*64k^2 = 8bc
<BR>3*8k^2 = bc ==> b o c multiplo di 8
<BR>per la discesa infinita si azzerano tutti
<BR>
<BR>ma questo è l\'unico punto critico della funzione
<BR>per cui a,b,c sono tutti naturali
<BR>quindi si vede facilmente che a=b=c=0

ah e in ogni caso si può dimostrare che è un punto di massimo per f(a,b,c)

Ehm... ammesso che (0,0,0) sia l\'unico punto critico, ed ammesso che sia effettivamente un massimo relativo, non significa necessariamente che sia anche assoluto: quello che presumi di aver dimostrato è semplicemente che la funzione è negativa in un intorno di (0,0,0), non certo su tutto R^3!
<BR>Tuttavia nemmeno questo è vero, come si vede facilmente considerando b=c=0 e facendo variare a: la funzione assume valori sia positivi che negativi in qualunque intorno di (0,0,0).
<BR>Morale della favola: il problema va risolto per forza con metodi aritmetici. Bel tentativo, comunque!
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mi sono scordato di una cosetta : bisogna prima dimostrare che se due sono uguali allora non esistono soluzioni(facile)
<BR>
<BR>

Questo non conta, perchè per la permanenza del segno (la funzione è continua!), ogni punto A=(a,0,0) tale che f(A)>0 ha un intorno in cui la funzione è strettamente positiva. In particolare, in tale intorno ci sono punti con tutte le coordinate diverse.

uhmm.. ricalcolando il determinante dell\'hessiana viene fuori che il punto è un flesso orizzontale e non un massimo....