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ciao
sia una funzione di R in R $ f \in C^1 $ tale che
$ \sin f'(x) \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb R $

Mostrare che f è debolmente monotona.

Mostrare inoltre la tesi nel caso generale in cui
$ \phi(f'(x)) \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb R $
dove $ \phi $ è una funzione continua positiva in un intorno destro di 0 e negativa in un intorno sinistro di 0.

Per la prima parte penso che basti osservare che sin f'(x) >= 0 <=> 2k pi-greco <= f'(x) >= pi-greco + 2k pi-greco, con k intero relativo. Quindi, se k è positivo o nullo, f è debolmente crescente; se k è negativo, f è strettamente decrescente.
Ditemi se sbaglio!

riscrivo

$ $\sin f'(x) \geq 0 \Longleftrightarrow 2k\pi \leq f'(x) \leq (2k+1)\pi, \forall k \in \mathbb Z,\forall x \in \mathbb R$ $

non capisco come sia fatta questa derivata, ho capito solo che è limitata e questo mi fa pensare all'uniforme continuità di f ma non so poi come usarla.

Per quanto riguarda il ragionamento di marcox^^ non so, non ho capito com'è fatta questa f' e come faccia ad essere limitata in infiniti intervalli (o forse ho sbagliato i quantificatori)

Ops, sicuramente ho aggiunto un'implicazione "verso sinistra" che non c'è, comunque ho semplicemente risolto la disequazione sen(t) >= 0 dove t=f'(x)

Poniamo $ I_k = \left ] 2k\pi;(2k+1)\pi \right [ $.

La mia domanda è com'è possibile che $ \forall x \in \mathbb R \quad f'(x) \in I_k \quad \forall k \in \mathbb Z $, ricordo che f' è continua poiché $ f \in C^1 $

Scusa, se la derivata sta sempre in un solo intervallo di quel tipo, vuol dire che non cambia mai segno, quindi la funzione è debolmente monotona.

allora ho sbagliato il quantificatore?non riesco a visualizzare una funzione f tale che $ f(x) \in I_k \quad \forall k \in \mathbb Z \forall x \in \mathbb R $ dove $ I_k $ è l'intervallo sopra definito.

Allora: se $ sin f'(x) \geq 0 $, semplicemente risolvendo la disequazione, abbiamo $ (\forall x \in \mathbb R) (\exists k \in \mathbb Z) (2 k \pi \leq f'(x) \leq (2k+1)\pi ) $

Però, per la continuità di f'(x), il codominio si riduce a solo uno di questi intervalli: si dimostra in questo modo.
Sia $ x_0 \in \mathbb R , x_0 \in [2k\pi , (2k+1) \pi ] , B = {x: x \in [2k\pi , (2k+1) \pi] $.
Consideriamo ora l'insieme A degli x che non appartengono a quell'intervallo, supponiamo che ne esista almeno uno maggiore di $ x_o $.
Nell'intervallo $ [x_0,+\infty[ $ è chiaro che A e B sono complementari. Per la continuità di R, B ha un massimo oppure A ha un minimo. Trovato questo massimo/minimo, considero un intervallo di diametro $ \pi \over 4 $, si vede subito che nessun elemento dell'altro insieme ci può entrare, così vado contro l'ipotesi che $ f'(x) $ sia continua.

Cioè, il discorso sugli insiemi è scorretto e fatto veloce, però circa è quello.

capito, ho sbagliato i quantificatori... allora ho capito anche l'esercizio, nessun intorno di zero appartiene a nessuno degli $ I_k $ pertanto in qualunque di quegli intervalli sia limitata f' essa non cambia segno.

Inoltre la tesi dice debolmente monotona poiché f' può essere limitata nell'intervallo $ [0,2\pi] $ che contiene un intorno destro dello zero.

giusto?