OliForum Matematico

1) Dimostrare che $ A=\displaystyle \prod_{i=1}^{100} i! $ non è un quadrato

2) Dimostrare che $ A*50! $ è un quadrato

3) Dimostrare che $ $ B=\sum_{i=1}^{100} i! $ non è quadrato (essere dislessici fa scoprire nuove cose)

1) Dimostrare che $ A=\displaystyle \prod_{i=1}^{100} i! $ non è un quadrato

Siano $ p_i $ numeri primi distinti.
Un numero $ n=\prod p_i^{a_i} $ non è un quadrato sse almeno un $ a_i $ è dispari.

$ 47 $ è primo e il max n tale che $ 47^n $ | A è dispari, infatti ho:

un $ 47^1 $ presente nella scomposizione di tutti gli $ i! $ con $ 94>i\ge 47 $ (ovvero per 47 valori di i)
e: un $ 47^2 $ presente nella scomposizione di tutti gli $ i! $ con $ 100\ge i \ge 94 $ (ovvero per 7 valori di i).
Quindi il max n è 47+14=61 che è dispari.

3) Dimostrare che $ $ B=\sum_{i=1}^{100} i! $ non è quadrato (essere dislessici fa scoprire nuove cose)

Per $ i\geq5 $ tutti i fattoriali sono congrui a zero modulo 10 (cioè la cifra delle unità è 0) perchè vi compare almeno un fattore 2 e un fattore 5.
Quindi la somma di tutti i primi 100 fattoriali è congrua modulo dieci alla somma dei primi quattro fattoriali.
La somma dei fattoriali da uno a quattro è $ 1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33\equiv 3\ (mod\ 10) $.
Ma 3 non è un residuo quadrato modulo 10 (i resuidi quadratici infatti sono 0, 1, 4, 5, 6, 9).
Quindi $ $ B=\sum_{i=1}^{100} i! $ non è quadrato.

Ora che esiste una soluzione ed è passato ben un giorno spero Simo non me ne vorrà se posto la soluzione

$ $ A= \prod_{i=1}^{100} i!= $
$ $ \prod_{k=1}^{50} (2k-1)!*(2k)!= $
$ $ \prod_{k=1}^{50} ((2k-1)!)^2*(2k)= $
$ $ \prod_{k=1}^{50} ((2k-1)!)^2*\prod_{k=1}^{50}(2k)= $
$ $ \prod_{k=1}^{50} ((2k-1)!)^2*2^{50}*\prod_{k=1}^{50}k= $
$ $ \prod_{k=1}^{50} ((2k-1)!)^2*2^{50}*50! $

Quindi $ 50! $ deve essere quadrato, ma esso contiene un solo fattore $ 47 $ quindi la tesi dell' 1) è provata. Ora

$ $ A*50!=\prod_{k=1}^{50} ((2k-1)!)^2*2^{50}*(50!)^2 $$ $ =\left[\prod_{k=1}^{50} (2k-1)!*2^{25}*50!\right]^2 $ che è evidentemente un quadrato

EDIT: Riscritta e ok a Zok per il 3

mmm Boll l'identità iniziale è sbagliata... so che sai come fare il problema ma almeno spiegalo bene...