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Vecchio e semplice
Inviato: 23 apr 2006, 20:35
da what
a,b,c,d reali positivi
dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd \geq abcd(a+b+c+d) $
astenersi esperti!
Inviato: 23 apr 2006, 20:56
da Martin
Mi sai dire come si sviluppa una somma ciclica?
grazie
Inviato: 23 apr 2006, 23:52
da Boll
Dividi per abcd, abbiamo
a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>= a+b+c+d
(a,b,c,d) sono ordinate in un dato modo (s(a),s(b),s(c),s(d))
avremo che (s(a)^2,...,s(d)^2) e (1/s(d),---,1/s(a)) sono ordinate allo stesso modo, quindi s(a)+s(b)+s(c)+s(d)=a+b+c+d è l'ordinamento minimo per la disuguaglianza di riordinamento
Inviato: 24 apr 2006, 02:18
da Simo_the_wolf
Dividendo per abcd, si moltiplica per a+b+c+d et voilà, un cauchy-schwarz bello e servito... 
Boll la tua sol è sbagliata, ricordati che è ciclica...
Inviato: 24 apr 2006, 10:47
da what
x Martin:
una somma ciclica è una somma che si sviluppa "ciclando" le variabili;
$ \displaystyle \sum_{cycl}f(a,b,c,d)=f(a,b,c,d)+f(b,c,d,a)+f(c,d,a,b)+f(d,a,b,c) $
sostanzialmente prendi la funzione nella sommatoria e la sommi tante volte quante sono le variabili, ogni volta "shiftando" le variabili.
e quindi nel nostro esercizio
$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=a^3cd+b^3da+c^3ab+d^3bc $
spero sia chiaro, altrimenti richiedi pure!
ok a simo e boll(anche se in effetti non puoi dire a>b>c>d puoi comunque riordinare il tutto)
Inviato: 24 apr 2006, 11:26
da Martin
Se devo shiftare le variabili della somma come mai ci metti anche $ $b^3da $ e $ d^3bc$ $
visto che b non compare nella somma?
grazie
Inviato: 24 apr 2006, 11:36
da what
vedila così:
$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=\sum_{cycl}a^3b^0c^1d^1 $
quindi a turno una delle quattro variabili "sparisce", nel senso che viene elevata alla 0.
Nota anche che
$ \displaystyle \sum_{cycl}a^3cd=\sum_{cycl}b^3da=\sum_{cycl}c^3ab=\sum_{cycl}d^3bc $
Inviato: 24 apr 2006, 11:42
da Martin
dunque potrebbe anche essere
$ $\sum_{cycl}a^3cd = \sum_{cycl}a^3b^0cde^0f^0...$ $
se non avessi il membro di destra che mette in mostra le variabili?
Inviato: 24 apr 2006, 11:51
da what
In nessun problema (penso) troverai nel testo una somma ciclica, a meno che non siano evidenti le variabili utilizzate. Si tratta più di una scrittura di comodo, che ti permette di scrivere una brutta e lunga somma in una semplice sommatoria. Nel problema in questione, la sommatoria ce l'ho messa io, anche se nel testo originale era esplicitata tutta la somma.
Nota però che prima del problema definisco le variabili in gioco.
Comunque in teoria un'espressione del tipo $ \sum_{cycl}a^2 $ non ha senso se non so quante sono le variabili da ciclare.
Inviato: 24 apr 2006, 12:00
da Martin
Ok grazie, ora è tutto chiaro
