OliForum Matematico

Dimostrare con Ceva che le altezze di un triangolo qualsiasi concorrono.

(Magari soluzione un pochino diversa dalla dimostrazione di Ceva applicata al caso ).

Ciao!

Si tratta di una classica dimostrazione di geometria elementare.
E' sufficiente tirare per ogni vertice la parallela al lato opposto;
si otterra' un altro triangolo di cui le altezze del triangolo iniziale
rappresentano gli assi.E poiche' e' altrettanto facile dimostrare
che gli assi di un triangolo concorrono,lo stesso avverra' per le altezze
del triangolo dato.
Leandro

Leandro, veniva richiesto di usare Ceva ...

Forse non e' quello che chiede luca88 ma con Ceva non ne conosco altre.
Dalle coppie di triangoli simili (ANC,AMB),(BLA,BNC) e (CMB,CLA) si ha:
(1) $ $\frac{AN}{MA}=\frac{AC}{AB} $
(2) $ $\frac{BL}{NB}=\frac{AB}{BC} $
(3) $ $\frac{CM}{LC}=\frac{BC}{AC} $
Moltiplicando (1),(2) e (3) e riordinando i denominatori si ottiene:
$ $\frac{AN}{NB}.\frac{BL}{LC}.\frac{CM}{MA}=\frac{AC}{AB}.\frac{AB}{BC}.\frac{BC}{AC}=1 $
E questo ,per Ceva,prova la concorrenza delle altezze.Dimostrazione
analoga si fa nel caso che il triangolo sia ottusangolo
(nel caso del triangolo rettangolo il teorema e'
ovvio,visto che le altezze concorrono nel vertice dell'angolo retto).
Leandro