OliForum Matematico

Trovare tutti gli n naturali che soddisfano:
$ 3^n-1=x^3 $

Mi sembra sia stato già discusso da qualche altra parte, cmq..
$ 3^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $

Il massimo comun divisore di due numeri divide una qualsiasi combinazione lineare dei due quindi
$ (x+1,x^2-x+1)|(x^2-x+1-(x-2)(x+1))=3 $
quindi $ (x+1,x^2-x+1)=1 \lor 3 $

Sono 4 casi

caso i)
$ x+1=3^n $
$ x^2-x+1=1 $
che ha come soluzioni $ x=0 \quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile

caso ii)
$ x+1=1 $
$ x^2-x+1=3^n $
$ x=0 $ che è soluzione

caso iii)
$ x+1=3 $
$ x^2-x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x=2 $ che è soluzione

caso iv)
$ x+1=3^{n-1} $ con $ n>1 $
$ x^2-x+1=3 $
che ha come soluzione $ x=2\quad \lor \quad x=-1 $ la prima accettabile

Riassumendo le coppie $ (n,x) $ che verificano sono $ (0,0),(2,2) $

Anche a me sembra di averlo già visto, forse in qualche vecchia edizione di Cesenatico, ma nella forma 'trovare tutti gli n,m naturali tali che 3^n - 2^m = 1'

Non vi sbagliate, avevo chiesto chiarimenti sulla soluzione qui:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=5179

e poi è cesenatico 1999.

Questo era il secondo punto di un vecchio problema del senior stage di Pisa.

Si vede che i problemi olimpici non sono poi così tanti... magari ho ancora qualche speranza, posso imparare a memoria tutte le soluzioni
Chissà qual'è la cardinalità dei problemi olimpici [ok chiudo l'OT]